Tallsystem
Det finnes en rekke tallsystemer som er og har vært i bruk. De mest kjente er romertallene og desimalltallene/titallsystemet, som er i bruk i dag. Det finnes også en del tallsystemer som brukes i sammenheng med datamaskiner som totallsystemet/binærtall, åttetallsystemet, sekstentallsystemet og 64-tallsystemet. Tallsystemet vi bruker i dagliglivet er titallsystemet. Det vil si et tallsystem bygget opp av tierpotenser. For eksempel er tallet 100 = 10². Tallsystemet som brukes i databehandling er det såkalte totallsystemet (binære tall). Tallene i dette systemet bygges opp av toerpotenser. For eksempel er tallet 8 = 2³ Det finnes også andre tallsystemer, som tolvtallsystemet (dusin) og sekstitallsystemet (brukes i beregninger av tid og vinkler). Symbolene som tallene i et tallsystem skrives med kalles siffer eller talltegn.
Historiske tallsystemer
Det finnes en rekke tallsystemer som ikke lenger er i bruk eller som brukes mest av historiske årsaker. Et eksempel på dette er det romerske tallsystemet. Aztekerne og mayaene brukte et 20-tallsystem og sumererne brukte et 60-tallsystem (seksagesimalsystemet).
Moderne tallsystemer
Heltall
I moderne tallsystemer, som for eksempel
- det desimale tallsystemet (titallsystemet),
- det binære tallsystemet (totallsystemet),
- det oktale tallsystemet (åttetallsystemet)
- det duodesimale tallsystemet (tolvtallsystemet) og
- det heksadesimale tallsystemet (sekstentallsystemet),
kan alle heltall uttrykkes som en sekvens av sifre på formen
der er grunntallet og hver er et siffer. Hvert siffer er større enn eller lik 0 og mindre enn grunntallet . Eksempler på dette er (4D2)16, (2322)8, (10011010010)2 og (1234)10, som alle uttrykker den samme tallverdien, den vi skriver i desimalnotasjon som 1234.
Det er normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som
som for eksempel 4D2, 2322, 10011010010 eller 1234.
Verdien av et slikt tall, med grunntall , er
For eksempel, (4D2)16 i titallsystemet blir
Som for heltall er det normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som
Verdien av et slikt tall, med grunntall , er
Omgjøring av tall i ett tallsystem til det tilsvarende tallet i titallsystemet
For å gjøre om et tall i f.eks. et totallssystem til det tilsvarende tallet i et titallssystem må tallet multipliseres med en toerpotens. Størrelsen på potensen bestemmes av verdien av sifferet i tallet (altså tierplassen, hundreplassem osv). Tallet 1011 (i et totallssystem) vil da bli 1*2³ + 0*2² + 1*2 + 1*2° = 11 i et titallssytem. Det samme gjør du med et utgangspunkt i f.eks. et tolvtallsystem, bare med potenser av tallet 12 istedenfor toerpotenser.
Omgjøring av tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem
For å gjøre om et tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem, må tallet deles med den gjeldende potensen helt til det når 0, og alle rester må taes i betraktning. For eksempel vil tallet 83 (i titallsystemet) regnes om på denne måten, for å gjøre det om til totallsystemet:
83:2 blir 41, med rest 1, 41:2 blir 20, med rest 1, 20:2 blir 10, med rest 0, 10:2 blir 5, med rest 0, 5:2 blir 2, med rest 1, 2:2 blir 1, med rest 0, 1:2 blir 0, med rest 1.
For å finne hva tallet 83 (i titallsystemet) blir i totallsystemet, begynner vi med restene nedenifra. Tallet blir dermed 1010011 i totallsystemet. Hvis et tall skal gjøres om til det tilsvarende tallet i f.eks femtallsystemet, må man dele tallet på 5:
83:5 blir 16, med rest 3, 16:5 blir 3, med rest 1, 3:5 blir 0, med rest 3.
Altså blir dette 313 i femtallsystemet.