Łańcuch kinematyczny

Łańcuch kinematyczny – część mechanizmu w postaci kilku połączonych ze sobą członów tworzących jedną lub wiele par kinematycznych^[1], realizujący zdefiniowane przeniesienie ruchu.

Łańcuchy kinematyczne dzielą się na:

• kinematyczne płaskie,
• kinematyczne przestrzenne.

Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Ruchliwość określa ile stopni swobody posiada łańcuch, to znaczy ile różnych typów ruchu jest w stanie przenieść.

Ruchliwość ${\displaystyle w}$ może być:

${\displaystyle w=0\;{}}$ lub ${\displaystyle {}\;w<0\quad {}}$	– łańcuch sztywny
${\displaystyle w=1}$	– łańcuch normalny
${\displaystyle w>1}$	– łańcuch swobodny

Ruchliwość łańcucha oblicza się ze wzoru strukturalnego (kryterium Czebszowa–Grüblera–Kutzbacha):

• dla łańcucha przestrzennego:

${\displaystyle w=6(n-1)-p_{1}-2p_{2}-3p_{3}-4p_{4}-5p_{5},}$

uwaga: od liczby ogniw ${\displaystyle n}$ odejmuje się 1 w przypadku, gdy nie zalicza się do niej nieruchomej podstawy.

• dla łańcucha płaskiego:

${\displaystyle w=3n-p_{4}-2p_{5},}$

gdzie:

${\displaystyle n}$ – liczba ogniw,

${\displaystyle p_{n}}$ – ilość par kinematycznych ${\displaystyle n}$-tej klasy.

Interpretacja ruchliwości obliczonej ze wzoru strukturalnego wymaga pewnego doświadczenia, w szczególności gdy wskazuje on, iż łańcuch kinematyczny jest sztywny. Taka sytuacja jest oczywista w przypadku a. W pewnych przypadkach jednak, przy szczególnej geometrii, łańcuch teoretyczne sztywny może przenosić ruch (przypadek b). Strukturalnie jest on identyczny z a, lecz występują w nim trzy geometrycznie identyczne człony co umożliwia ruch łańcucha. Para kinematyczna, która powinna łańcuch usztywniać (wskazana czerwoną strzałką) jest węzłem biernym. Projektując mechanizm z węzłami biernymi, konstruktor musi zdawać sobie sprawę, że zużycie elementów mechanizmu, prowadzące do drobnych zmian w ich geometrii, może doprowadzić do usztywnienia mechanizmu. Łańcuch kinematyczny sztywny, aczkolwiek teoretycznie takim jest w praktyce jest stosowany jako konstrukcja służąca wyłącznie do przenoszenia obciążenia, a nie ruchu i nie jest przedmiotem teorii mechanizmów i maszyn, lecz wytrzymałości materiałów i teorii konstrukcji.

Łańcuch kinematyczny o ruchliwości równej jeden jest najczęstszym przypadkiem mechanizmu. Rodzaj ruchu członu czynnego determinuje wtedy ruch członu biernego i wszystkich członów pośredniczących. Rysunek c pokazuje typowy czworobok przegubowy o ruchliwości równej jeden.

W pewnych przypadkach wymagane jest by mechanizm miał większą ruchliwość. Typowym tego przykładem jest przekładnia obiegowa d, lub mechanizm kreślarski e. Istnieją przypadki, że w bardzo odpowiedzialnych mechanizmach powiększa się ruchliwość normalnie zabezpieczoną bezpiecznikiem, by uniknąć samousztywnienia się mechanizmu w wyniku zużycia lub odkształcenia elementów. Gdy sytuacja taka zaistnieje bezpiecznik uruchamia dodatkową parę. Mechanizm może wtedy stracić swoją funkcjonalność, lecz unika się wtedy trwałego zniszczenia mechanizmu lub środowiska w jakim pracuje.

Badanie ruchliwości łańcucha kinematycznego może być przeprowadzone analitycznie. Ograniczając analizę do przypadku łańcuchów płaskich (dwuwymiarowych) założymy, że jego ogniwa są prętami prostymi, odkształcalnymi osiowo i połączonymi ze sobą w węzłach za pomocą idealnych przegubów. Do rozważań wprowadzimy dwa wektory

${\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1},d_{2},\dots ,d_{m}]}$ – liniowo niezależnych przemieszczeń węzłowych i

${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}]}$ – wydłużeń/skróceń ogniw spowodowanych przemieszczeniami węzłowymi.

W celu uproszczenia zapisu wektory będziemy zapisywali albo wierszowo albo kolumnowo jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.

Analiza ruchliwości węzłów łańcucha polega na badaniu rozwiązań układu równań

(a)${\displaystyle {}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {s} .}$

Macierz zgodności przemieszczeń węzłowych ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ występująca w tym równaniu, może być utworzona na podstawie interpretacji jej kolumn. Rozważmy mianowicie węzeł łańcucha, w którym występują dwa przemieszczenia ${\displaystyle d_{i}}$ i ${\displaystyle d_{j}}$ (rys. 1a-b). Związek (a) przyjmuje dla tego przypadku postać

${\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {s} \quad \to \quad {\begin{bmatrix}s_{ki}&s_{kj}\\s_{li}&s_{lj}\\s_{mi}&s_{mj}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{i}\\d_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{k}\\s_{l}\\s_{m}\end{bmatrix}}.}$

Elementy ${\displaystyle s_{ki},s_{li},s_{mi}}$ są wydłużeniami/skróceniami odpowiednio ${\displaystyle k}$-tego, ${\displaystyle l}$-tego i ${\displaystyle m}$-tego elementu ogniwa łańcucha, spowodowanymi przez ${\displaystyle i}$-te przemieszczenie węzłowe ${\displaystyle d_{i}=1}$ (rys. 1a). Analogicznie elementy ${\displaystyle s_{kj},\;s_{lj},\;s_{mj}}$ są skutkami spowodowanymi przez przemieszczenie węzłowe ${\displaystyle d_{j}=1}$ (rys. 1b). Elementy ${\displaystyle s_{k},\;s_{l},\;s_{m}}$ są sumarycznymi skutkami równoczesnego działania przemieszczeń ${\displaystyle d_{i}}$ i ${\displaystyle d_{j}.}$

Jeżeli wydłużeniom ogniw przypiszemy znak plus, a skróceniom – minus, to na podstawie rys. 1a-b otrzymamy

${\displaystyle s_{ki}=+\cos(k,i),\quad s_{li}=-\cos(l,i),\quad s_{mi}=-\cos(m,i),\quad {}}$ – (rys. 1a),

${\displaystyle s_{kj}=+\cos(k,j),\quad s_{lj}=-\cos(l,j),\quad s_{mj}=+\cos(m,j),\quad {}}$ – (rys. 1b).

W rzeczywistym łańcuchu kinematycznym jego ogniwa mają niezmienną długość, a to znaczy, że ${\displaystyle \mathbf {s} =\mathbf {0} .}$ Badaniu ruchliwości łańcucha kinematycznego należy więc poddać nie układ równań (a), lecz (b)

(b)${\displaystyle {}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {0} .}$

Z algebry liniowej wiadomo, że liczba liniowo niezależnych niezerowych rozwiązań takiego układu równań jest równa defektowi badanej macierzy. Pod tym terminem rozumiemy różnicę pomiędzy stopniem, a rzędem macierzy. W przypadku macierzy prostokątnych o rozmiarach ${\displaystyle m\times n}$ stopniem nazwiemy mniejszą z liczb ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n.}$

Dla przykładu rozważymy układ pokazany na rys. 2a^[2].

Na podstawie rys. 2b-f kolejno budujemy kolumny macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {Ad} ={\begin{bmatrix}\sin(\alpha )&-\cos(\alpha )&0&0&0\\-\cos(\beta )&\sin(\beta )&\cos(\beta )&-\sin(\beta )&0\\0&0&-\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )&0\\0&0&-\cos(\beta )&\sin(\beta )&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\d_{5}\end{bmatrix}}=0.}$

Łatwo można sprawdzić, że przyjęcie ${\displaystyle d_{1}=1}$ pozwala wyznaczyć jednoznacznie wartości pozostałych niewiadomych przemieszczeń węzłowych, które wynoszą:

${\displaystyle d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),}$	${\displaystyle d_{3}={\frac {\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta )}{\cos(\beta )+\operatorname {tg} (\gamma )\sin(\beta )}},}$
${\displaystyle d_{4}=-d_{3}\operatorname {tg} (\gamma ),\quad {}}$	${\displaystyle d_{5}=\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta ).}$

Dla łańcucha o pionowych „słupkach” ${\displaystyle (\alpha =\gamma =0)}$ otrzymuje się

${\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=d_{4}=0,\quad d_{5}=\cos(\beta ).}$

Dla łańcucha o „słupkach” równoległych ${\displaystyle (\gamma =-\alpha )}$ jest

${\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{5}=\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta ).}$

Dla łańcucha z „ryglem” poziomym ${\displaystyle (\beta =0)}$

${\displaystyle d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{4}=-\operatorname {tg} (\gamma ),\quad d_{5}=1.}$

W przypadku łańcuchów wielokrotnie przesuwnych sprawa nieco się komplikuje co zilustrujemy na przykładzie łańcucha „piętrowego” z rys. 3a^[2]. Wygenerowana kolumnowo macierz zgodności przemieszczeń węzłowych ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ma postać

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&-1\\0&0&0&0&-1&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Rozwiązując układ równań ${\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} }$ za pomocą algorytmu Gaussa-Jordana z pełnym wyborem elementów wiodących stwierdzamy, że ma on rozwiązanie

${\displaystyle d_{1}=d_{3},\quad d_{5}=d_{7},\quad d_{2}=d_{4}=d_{6}=d_{8}=0.}$

Oznacza to, że przemieszczenia ${\displaystyle d_{3}}$ i ${\displaystyle d_{7}}$ mogą spełniać rolę zmiennych swobodnych. Dzięki temu otrzymujemy w tym przypadku dwa rozwiązania podstawowe (bazowe)

${\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;0\;0\;0\;0],\quad \mathbf {d_{2}^{*}} =[0\;0\;0\;0\;1\;0\;1\;0].}$

Dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań o postaci

${\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} =\alpha \mathbf {d_{1}^{*}} +\beta \mathbf {d_{2}^{*}} ,\quad |\alpha |+|\beta |\neq 0,}$

jest nowym rozwiązaniem równania ${\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} .}$

Na rys. 3b-c pokazano mechaniczne interpretacje rozwiązań bazowych ${\displaystyle \mathbf {d_{1}^{*}} }$ i ${\displaystyle \mathbf {d_{2}^{*}} ,}$ natomiast rys. 3d przedstawia przykładowe nowe rozwiązanie w postaci najprostszej kombinacji liniowej

${\displaystyle \mathbf {d_{3}^{*}} =\mathbf {d_{1}^{*}} +\mathbf {d_{2}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0].}$

Generowanie macierzy zgodności przemieszczeń węzłowych ${\displaystyle \mathbf {A} }$ można przeprowadzić według takiego algorytmu postępowania, który bez żadnych zmian pozwala analizować ruchliwość zarówno łańcuchów płaskich, jak i przestrzennych. Podstawą tego algorytmu jest spostrzeżenie, że zmiana długości ${\displaystyle s_{ij}}$ ogniwa ${\displaystyle i}$ wywołana jednostkowym przemieszczeniem węzła ${\displaystyle j}$ wyraża się prostym iloczynem skalarnym

(c)${\displaystyle {}\quad s_{ij}=\pm \;{\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {d}}_{j}=\pm \cos(i,j),}$

w którym przez ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ oznaczono wersor kierunku ogniwa, a przez ${\displaystyle {\vec {d}}_{j}}$ wersor kierunku przemieszczenia węzłowego.

Znak we wzorze (c) przypiszemy według następującego kryterium:

(A) – gdy ogniwo ${\displaystyle i}$ ma kierunek „do węzła” ${\displaystyle j,}$ wtedy we wzorze (c) obowiązuje znak plus. Dla ogniwa skierowanego „od węzła” przypiszemy znak minus. To kryterium znakowania we wzorze (c) wymaga przyporządkowania każdemu ogniwu ${\displaystyle i}$ konkretnego wersora kierunku ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}.}$

W celu uproszczenia zapisu będziemy operować tylko tymi wektorami dwuwymiarowymi, które mają co najmniej jedną współrzędną niezerową (rys. 2a).

I tak dla łańcucha z przykładu 1 mamy

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=[\sin(\alpha ),\;-\cos(\alpha )],\qquad {\vec {e}}_{2}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )],}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=[\sin(\gamma ),\;\cos(\gamma )],\qquad {\vec {e}}_{4}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )]}$

oraz

${\displaystyle {\vec {d}}_{1}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{3}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{4}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{5}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )].}$

Na podstawie wzoru (c) otrzymujemy

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{1}&+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}&0&0&0\\-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{1}&-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{2}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{3}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{4}&+{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{5}\end{bmatrix}}.}$

Po obliczeniu iloczynów skalarnych możemy stwierdzić, że otrzymany wynik jest identyczny z uzyskanym w przykładzie 1.

Stosując to wektorowe podejście przeprowadzimy teraz analizę łańcucha przestrzennego z rys. 4a. Jedyna różnica będzie polegać tylko na tym, że wektory ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ i ${\displaystyle {\vec {d}}_{j}}$ będą teraz miały po trzy współrzędne.

Współrzędne wersorów dla poszczególnych ogniw można obliczyć na podstawie geometrii układu określonej wysokością ${\displaystyle {\overline {OS}}=L}$ i połową przekątnej kwadratowej podstawy ${\displaystyle {\overline {OA}}=L.}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=[-1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{2}=[-1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=[1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{4}=[1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],}$

${\displaystyle {\vec {d}}_{1}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{3}=[0\;\;0\;\;1],\quad {\vec {d}}_{4}=[1\;\;0\;\;0],}$

${\displaystyle {\vec {d}}_{5}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{6}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{7}=[0\;\;1\;\;0].}$

Elementy macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ obliczamy na podstawie wzoru (c) z przypisaniem znaków według kryterium (A):

(d)${\displaystyle {}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&1/2&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&1/2&0&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Rozważymy teraz kilka różnych przypadków:

Przypadek 1

Załóżmy, że ${\displaystyle d_{4}=d_{5}=d_{6}=d_{7}=0.}$ Oznacza to, że węzły B i C są unieruchomione i układ równań ${\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} }$ ma w tym przypadku postać

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .}$

Łatwo można sprawdzić, że istnieje taki minor ${\displaystyle \mathbf {M} (3\times 3)}$ macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ że ${\displaystyle \operatorname {Det} (\mathbf {M} )\neq 0.}$ Wynika stąd wniosek, że jedynymi rozwiązaniami równania ${\displaystyle \mathbf {Ad} =\mathbf {0} }$ są w tym przypadku ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=0.}$ Oznacza to, że unieruchomienie węzłów B i C powoduje unieruchomienie całego łańcucha (brak ruchliwości).

Przypadek 2

Uwzględnimy teraz występowanie w węzłach B i C przemieszczeń tylko w kierunku osi ${\displaystyle 0x_{2}}$ tzn. przyjmiemy, że ${\displaystyle d_{4}=d_{6}=0.}$ Wynika stąd taka postać układu równań

(e)${\displaystyle {}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{5}\\d_{7}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .}$

Przyjmijmy, że zostało wywołane przemieszczenie ${\displaystyle d_{5}=1.}$ Przyjęcie to umożliwia jednoznaczne rozwiązanie układu równań (e)

${\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;\;1/2\;\;-{\sqrt {2}}/4\;\;\;1\;\;\;1],}$

co oznacza, że łańcuch ma jeden stopień swobody ruchu.

Przypadek 3

Przy tym samym założeniu co w przypadku 2, tzn. że ${\displaystyle d_{4}=d_{6}=0}$ wymusimy przemieszczenie ${\displaystyle d_{3}=1.}$ I tym razem istnieje jednoznaczne rozwiązanie

${\displaystyle \mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;-{\sqrt {2}}\quad 1\;\;-2{\sqrt {2}}\;\;-2{\sqrt {2}}].}$

Obydwa rozwiązania z przypadków 2 i 3 różnią się tylko stałym mnożnikiem ${\displaystyle -2{\sqrt {2}}}$ co tylko potwierdza podobieństwo obu stanów przemieszczenia w układzie o jednym stopniu swobody ruchu.

Przytoczymy teraz inny, statyczny sposób generowania macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Skorzystamy w tym celu z równań równowagi węzłów wyciętych z łańcucha, które można zapisać w postaci

(f)${\displaystyle {}\quad \mathbf {BS} =\mathbf {D} ,}$

przy czym

${\displaystyle \mathbf {S} =[S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}]\quad {}}$ – jest wektorem sił osiowych w ogniwach, a

${\displaystyle \mathbf {D} =[D_{1},D_{2},\dots ,D_{m}]\quad {}}$ – wektorem sił węzłowych.

Dla przykładu rozważymy równanie równowagi sił działających na wycięty węzeł ${\displaystyle W}$ (rys. 5a) w kierunku określonym przez jego wersor ${\displaystyle {\vec {d}}_{i}=1.}$ Równanie to otrzymamy sumując rzuty na ten kierunek wszystkich sił ${\displaystyle S_{\alpha },\;\alpha \in (k,l,m).}$

${\displaystyle D_{i}=+({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{ik}S_{k}-s_{il}S_{l}-s_{im}S_{m}.}$

Podobnie mamy dla kierunku ${\displaystyle {\vec {d}}_{j}}$ (rys. 5b)

${\displaystyle D_{j}=+({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{jk}S_{k}-s_{jl}S_{l}-s_{jm}S_{m}.}$

Dla łańcucha o ${\displaystyle n}$ ogniwach i ${\displaystyle m}$ liniowo niezależnych przemieszczeniach węzłowych macierz ${\displaystyle \mathbf {B} }$ możemy zapisać w postaci

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\end{bmatrix}},}$

która jednak nie uwzględnia znakowania określonego przez kryterium (A).

Analogicznie możemy napisać na podstawie wzoru (c)

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\end{bmatrix}}.}$

Wobec tego, że elementy ${\displaystyle a_{ij}}$ oraz ${\displaystyle b_{ij}}$ macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbf {B} }$ spełniają związki

${\displaystyle a_{ij}={\vec {e}}_{i}\!\cdot \!{\vec {d}}_{j}={\vec {d}}_{j}\!\cdot \!{\vec {e}}_{i}=b_{ji}}$

otrzymujemy istotny związek

${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}=\mathbf {A} }$

pozwalający generować elementy macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ na dwa równorzędne sposoby.

• rigging