Ciało (formalnie) rzeczywiste
![]() | Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało w którym zachodzi
czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.
Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności:
- nie jest sumą kwadratów w
- ciało może być liniowo uporządkowane.
Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.
Ciało rzeczywiście domknięte to ciało spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków:
- jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
- Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w
- Istnieje porządek liniowy taki, że jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w
- Element nie jest kwadratem w a ciało jest algebraicznie domknięte.
Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że:
- Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
- Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
- Jeśli ciało algebraicznie domknięte jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała to ciało jest rzeczywiście domknięte i
Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta.