Jedynka aproksymacyjna

Jedynka aproksymacyjna^[1] (także: aproksymatywna^[2]; ang. approximate identity, dosł. „jedynka przybliżona”) – w analizie funkcjonalnej, szczególnie w teorii algebr Banacha, rodzina elementów przybliżająca jedynkę (element neutralny mnożenia) w algebrze Banacha, najczęściej bez jedynki.

Prawostronną jedynką aproksymacyjną w algebrze Banacha ${\displaystyle A}$ jest ciąg uogólniony ${\displaystyle \{e_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}}$ taki, że dla każdego elementu ${\displaystyle a\in A}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert ae_{\lambda }-a\rVert =0.}$

Podobnie definiujemy lewostronną jedynkę aproksymacyjną w algebrze Banacha ${\displaystyle A}$ jako ciąg uogólniony ${\displaystyle \{e_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}}$ taki, że dla każdego elementu ${\displaystyle a\in A}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert e_{\lambda }a-a\rVert =0.}$

Jedynka aproksymacyjna to ciąg uogólniony, który jest zarówno prawostronną, jak i lewostronną jedynką aproksymacyjną^[3][4].

Często do powyższych definicji dodaje się również wymóg ograniczoności lub przeliczalności rodziny elementów^[5]. Istnieją algebry Banacha, które nie mają jedynki aproksymacyjnej^[4]. Trywialnym przykładem jest dowolna przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ zerowym mnożeniem, tj. ${\displaystyle xy=0}$ dla wszelkich ${\displaystyle x,y\in X.}$

Jedynka aproksymacyjna w algebrach splotowych odgrywa taką samą rolę jak ciąg funkcji aproksymujący deltę Diraca (która jest elementem neutralnym splotu). Przykładem takiej jedynki aproksymacyjnej może być jądro Fejéra w teorii szeregów Fouriera, czyli rodzina funkcji danych wzorem:

${\displaystyle F_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)e^{inx}}$

dla ${\displaystyle N}$ naturalnych. Jest to jedynka aproksymacyjna na algebrze splotowej funkcji całkowalnych okresowych ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$^[6].

Domknięte ideały C*-algebr (a więc same C*-algebry bez jedynki) mają zawsze jedynki aproksymacyjne, które dodatkowo są quasicentralne. Dokładniej, jeżeli ${\displaystyle J}$ jest domkniętym ideałem C*-algebry ${\displaystyle A,}$ to istnieje taka jedynka aproksymacyjna ${\displaystyle (x_{j})}$ w ${\displaystyle J,}$ że dla wszelkich elementów ${\displaystyle a\in A}$ zachodzi

${\displaystyle \|ax_{j}-x_{j}a\|\to 0.}$

Ponadto domknięta otoczka wypukła dowolnej jedynki aproksymacyjnej w ${\displaystyle J}$ zawiera jedynkę aproksymacyjną o powyższej własności^[7].