Jedynka aproksymacyjna
Jedynka aproksymacyjna[1] (także: aproksymatywna[2]; ang. approximate identity, dosł. „jedynka przybliżona”) – w analizie funkcjonalnej, szczególnie w teorii algebr Banacha, rodzina elementów przybliżająca jedynkę (element neutralny mnożenia) w algebrze Banacha, najczęściej bez jedynki.
Definicja
Prawostronną jedynką aproksymacyjną w algebrze Banacha jest ciąg uogólniony taki, że dla każdego elementu zachodzi
Podobnie definiujemy lewostronną jedynkę aproksymacyjną w algebrze Banacha jako ciąg uogólniony taki, że dla każdego elementu zachodzi
Jedynka aproksymacyjna to ciąg uogólniony, który jest zarówno prawostronną, jak i lewostronną jedynką aproksymacyjną[3][4].
Często do powyższych definicji dodaje się również wymóg ograniczoności lub przeliczalności rodziny elementów[5]. Istnieją algebry Banacha, które nie mają jedynki aproksymacyjnej[4]. Trywialnym przykładem jest dowolna przestrzeń Banacha zerowym mnożeniem, tj. dla wszelkich
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Fej%C3%A9r_kernel.svg/400px-Fej%C3%A9r_kernel.svg.png)
Algebry splotowe
Jedynka aproksymacyjna w algebrach splotowych odgrywa taką samą rolę jak ciąg funkcji aproksymujący deltę Diraca (która jest elementem neutralnym splotu). Przykładem takiej jedynki aproksymacyjnej może być jądro Fejéra w teorii szeregów Fouriera, czyli rodzina funkcji danych wzorem:
dla naturalnych. Jest to jedynka aproksymacyjna na algebrze splotowej funkcji całkowalnych okresowych [6].
C*-algebry
Domknięte ideały C*-algebr (a więc same C*-algebry bez jedynki) mają zawsze jedynki aproksymacyjne, które dodatkowo są quasicentralne. Dokładniej, jeżeli jest domkniętym ideałem C*-algebry to istnieje taka jedynka aproksymacyjna w że dla wszelkich elementów zachodzi
Ponadto domknięta otoczka wypukła dowolnej jedynki aproksymacyjnej w zawiera jedynkę aproksymacyjną o powyższej własności[7].
Przypisy
- ↑ Tomasz Kania: Autoreferat. s. 9. [dostęp 2021-04-21].
- ↑ Paweł Strzelecki: Analiza matematyczna II (skrypt wykładu). s. 134 (138). [dostęp 2021-04-21].
- ↑ Approximate identity, WolframMathwolrd. [dostęp 2021-04-21]. (ang.).
- ↑ a b Approximate Identity, PlanetMath. [dostęp 2021-04-21]. (ang.).
- ↑ Bounded Left Approximate Identity, WolframMathWorld. [dostęp 2021-04-21]. (ang.).
- ↑ S. Ziskind: Fejer’s theorem. [dostęp 2021-04-21]. (ang.).
- ↑ K.R. Davidson, C*-algebras by example, Fields Institute Monographs 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. Theorem I.9.16.