Kąty Eulera

Kąty Eulera – układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwóch kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej^[1]. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera.

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych ${\displaystyle Ox'y'z'}$ można otrzymać z danego układu ${\displaystyle Oxyz}$ przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest kwestią konwencji.

(1) Załóżmy najpierw, że osie ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle z'}$ nie są równoległe, a zatem płaszczyzna ${\displaystyle Ozz'}$ jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś ${\displaystyle z}$ na oś ${\displaystyle z',}$ jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów ${\displaystyle w,}$ tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny ${\displaystyle Ozz'}$ w punkcie ${\displaystyle O.}$ Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle z',}$ jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ${\displaystyle Oxy}$ i ${\displaystyle Ox'y'.}$ Tak więc układ ${\displaystyle Oxyz}$ można nałożyć na ${\displaystyle Ox'y'z',}$ dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

1. obrót wokół osi ${\displaystyle z,}$ taki by oś ${\displaystyle x}$ pokryła się z linią węzłów ${\displaystyle w}$
2. obrót wokół osi ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (=w),}$ taki by oś ${\displaystyle z}$ pokryła się z osią ${\displaystyle z'}$
3. obrót wokół osi ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (=z'),}$ taki by oś ${\displaystyle x}$ pokryła się z osią ${\displaystyle x'}$ (wtedy też oś ${\displaystyle y}$ pokryje się z osią ${\displaystyle y'}$).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o ${\displaystyle \pi }$) prowadzące do ustawienia osi ${\displaystyle x}$ wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle e_{z}\times e_{z}'}$ (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu ${\displaystyle (0,\pi ).}$

Poszczególne kąty Eulera ${\displaystyle (\varphi ,\psi ,\theta )}$ parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

• ${\displaystyle \varphi }$ – kąt mierzony od osi ${\displaystyle x}$ do osi węzłów ${\displaystyle w}$ w kierunku wyznaczonym osią ${\displaystyle z;}$ jest to kąt obrotu 1.
• ${\displaystyle \theta }$ – kąt mierzony od osi ${\displaystyle z}$ do ${\displaystyle z'}$ w kierunku wyznaczonym osią węzłów ${\displaystyle w;}$ jest to kąt obrotu 2.
• ${\displaystyle \psi }$ – kąt mierzony od osi węzłów ${\displaystyle w}$ do osi ${\displaystyle x'}$ w kierunku wyznaczonym osią ${\displaystyle z';}$ jest to kąt obrotu 3.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi ${\displaystyle z,}$ można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów ${\displaystyle (\varphi ,\psi ,\theta )\in [0,2\pi )\times [0,2\pi )\times (0,\pi ).}$

(2) Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle z'}$ są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna ${\displaystyle Ozz'}$ i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś ${\displaystyle z}$ można przekształcić na oś ${\displaystyle z'}$ w wyniku obrotu (o kąt ${\displaystyle 0}$ lub ${\displaystyle \pi ,}$ zależnie od zwrotu osi ${\displaystyle z'}$) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt ${\displaystyle O}$ i leżącej w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxy=Ox'y'.}$ Mamy zatem ${\displaystyle \theta =0}$ lub ${\displaystyle \theta =\pi ,}$ a ustawienie osi ${\displaystyle x',}$ ${\displaystyle y'}$ jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów ${\displaystyle \varphi }$ i ${\displaystyle \psi .}$

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych ${\displaystyle (x,y,z)}$ postacie:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},\qquad A_{2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}},\qquad A_{3}={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu ${\displaystyle Oxyz}$ do ${\displaystyle Ox'y'z'}$ przedstawia się następująco:

${\displaystyle A=A_{3}A_{2}A_{1}={\begin{bmatrix}\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi \cos \theta &\sin \varphi \cos \psi +\cos \varphi \sin \psi \cos \theta &\sin \psi \sin \theta \\-\cos \varphi \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \cos \theta &-\sin \varphi \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi \cos \theta &\cos \psi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &-\cos \varphi \sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Jest to specjalna macierz ortogonalna, tj. macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

• elementy orbitalne
• grupa obrotów
• macierz obrotu

• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.