K-przestrzeń

k-przestrzeń – przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950^[1] David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią – odpowiedni kontrprzykład^[2] podał Clifford Hugh Dowker.

• Przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle X}$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie ${\displaystyle A}$ z każdym zwartym podzbiorem ${\displaystyle X}$ było domknięte (lub równoważnie – zwarte).
• Przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle X}$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie ${\displaystyle A}$ z każdym zwartym podzbiorem ${\displaystyle X}$ było otwarte.
• Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
• Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
• Suma ${\displaystyle \bigoplus _{s\in S}X_{s}}$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X_{s}}$ jest k-przestrzenią dla każdego ${\displaystyle s\in S.}$
• Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii ${\displaystyle \tau }$ nazywamy rodzinę podzbiorów ${\displaystyle U}$ zbioru ${\displaystyle X}$ takich, że ${\displaystyle U\cap K\in \tau }$ dla każdego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subseteq X.}$ Rodzina ${\displaystyle k(\tau )}$ jest również topologią w zbiorze ${\displaystyle X.}$ Przestrzeń ${\displaystyle X}$ z topologią ${\displaystyle k(\tau )}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle kX}$ i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni ${\displaystyle X.}$ W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

• topologia ${\displaystyle k(\tau )}$ jest mocniejsza od wyjściowej topologii ${\displaystyle \tau ,}$
• ${\displaystyle kkX=kX}$ (zob. idempotentność),
• Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle kX=X}$^[3].

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazywamy k-ciągłą, gdy ${\displaystyle f|_{K}}$ jest ciągła dla każdego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subseteq X.}$ Jeśli symbole ${\displaystyle C(X,Y)}$ i ${\displaystyle C_{k}(X,Y)}$ oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y,}$ to

• ${\displaystyle X}$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle C(X,Y)=C_{k}(X,Y)}$ dla każdej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle Y}$^[4].

• ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \}}$ (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ nazywana jest k₃-przestrzenią, gdy ${\displaystyle C(X,Y)=C_{k}(X,Y)}$ dla każdej przestrzeni regularnej ${\displaystyle Y.}$ Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k₃-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k₃-przestrzenią.

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 198–200.