Kryterium Cauchy’ego zagęszczające[1] (także kryterium kondensacyjne, kryterium zagęszczania) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych udowodnione przez Cauchy’ego. Rozszerzeniem kryterium Cauchy’ego zagęszczającego jest kryterium Schlömilcha zagęszczające.
Kryterium
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bd1347e39229e7d010157d755a3db231a17488) | | (A) |
którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz
dla wszelkich
Ponadto, niech dany będzie szereg
| | ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f1314a55da945df938e8957adcd941c2c75002) | | (B) |
Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg (B) jest zbieżny.
W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg (B) można zastąpić szeregiem
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p^{n}\cdot a_{p^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6eed2fcaf84f8ab75502525065197195dd4ada)
dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej
[2].
Dowód
W dowodzie wygodnie jest użyć notacji funkcyjnej; niech
![{\displaystyle f(n)=a_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e74c089eb2840434602293c19f8a7217c626ce0)
Ponieważ ciąg
jest nierosnący, zachodzą oszacowania
![{\displaystyle 0\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ {\stackrel {(1)}{\leqslant }}\ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ {\stackrel {(2)}{\leqslant }}\ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leqslant \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb79e96697565836a03c4a4e625b1211acb60ee)
Istotnie, nierówność (1) wynika z oszacowania[1]:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\ldots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\ldots \\&\leqslant &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\ldots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\ldots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28652b5545884192b252cd83581cec94936bc30c)
Nierówność (2) wynika natomiast z oszacowania[1]:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\ldots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\ldots \\&\leqslant &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\ldots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0573d378e2a4984a5c3b433bb73d15701ff7ad8b)
Z kryterium porównawczego wynika zatem, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, szereg (B) jest zbieżny[3].
Przykłady zastosowania
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb88a65195479de89de202648fb46f7ddb89d475)
- jest rozbieżny. Istotnie,
[3].
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190a999e2fc0d04306a3065536f541135b90cc1c)
- jest rozbieżny. Istotnie,
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n}\cdot \ln 2^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln 2}}=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb9f23681be4e204cf2b42023006402de1f8753)
- co wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego[2].
Przypisy
Bibliografia
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1971. Brak numerów stron w książce
- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
Literatura dodatkowa
- Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.