| Ten artykuł od 2019-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag
i węzłów interpolacji
aby wyrażenie
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c55ef8da6c47bdfdb23870c41915e9fd1ed463)
najlepiej przybliżało całkę
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f72e77f996a431209b3720b30a901ce45dac40f)
gdzie
jest dowolną funkcją określoną na odcinku
a
jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki
![{\displaystyle w(x)\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831dfd2e58b1afe240e3ce96db1ef56cb15cb969)
jest skończona, - Jeżeli
jest wielomianem takim, że
to jeśli
mamy wtedy ![{\displaystyle p\equiv 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4cae3a342fac4b91fbeff3374c51349c6aaee1)
Określmy iloczyn skalarny z wagą
![{\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)g(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f452db545516327d0f48a9d23b981dd074fbac5f)
Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego, jeśli
Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:
a) Jeżeli
są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego
oraz
są rozwiązaniami układu równań:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}p_{0}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{0}(t_{n})w_{n}=&\langle p_{0},p_{0}\rangle _{w}\\p_{1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{1}(t_{n})w_{n}=&0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\p_{n-1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{n-1}(t_{n})w_{n}=&0\end{matrix}}\right.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79822d87b884388c62517e5320b59f8521b2ccf6)
to dla każdego wielomianu
stopnia nie większego niż
zachodzi
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}p(t_{i}).\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094363aaab388b27cc454f67bb1435cf99637e51)
Ponadto
b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów
oraz ciągu wag
dla dowolnego wielomianu
stopnia nie większego niż
zachodzi warunek (*), to
oraz
z dokładnością do kolejności.
c) Dla dowolnego ciągu węzłów
oraz ciągu wag
istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).
Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa
Kwadratury z przedziału
z wagą
nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre’a
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35737d65d9a6c8bb7bc2d3f1524004f811b56f16)
gdzie
to pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a.
Kwadratury z wagą
nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f0021fbdad66f32df6a95e6af4ec01d74fa440)
gdzie
to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.
Kwadratury z wagą
nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite’a
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292b29d8369e0d0405af94be4339833c85f446eb)
gdzie
to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite’a.
Kwadratury z wagą
nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre’a
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0544cbf0abb822863d48f2a2e4758aadeb5780)
gdzie
to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre’a.
Kwadratury z wagą
nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego
![{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8516167ce596adf13f081fef81c65e023c9507)
Zobacz też
- analiza numeryczna
- metoda numeryczna
- metody Newtona-Cotesa