Lemat Schwarza

Ten artykuł dotyczy twierdzenia analizy zespolonej. Zobacz też: twierdzenie Schwarza w rachunku różniczkowym wielu zmiennych.

Ten artykuł od 2023-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Lemat Schwarza – twierdzenie analizy zespolonej o wielu użytecznych wariantach będące jednym z najprostszych obok zasady maksimum wyników opisujących sztywność funkcji holomorficznych. Przedstawiona niżej główna wersja lematu orzeka, że dana funkcja holomorficzna zespolonego koła jednostkowego w siebie, dla której początek płaszczyzny jest punktem stałym, jest obrotem bądź „ściąga” każdy punkt do początku (zob. przekształcenie zwężające).

Niech ${\displaystyle H^{\infty }}$ oznacza przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji holomorficznych określonych na kole jednostkowym ${\displaystyle B}$ na płaszczyźnie zespolonej z normą daną wzorem ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{z\in B}\displaystyle |f(z)\displaystyle |.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\in H^{\infty }}$ oraz ${\displaystyle \|f\|_{\infty }\leqslant 1,}$ a przy tym ${\displaystyle f(0)=0,}$ to

${\displaystyle {\big |}f(z){\big |}\leqslant |z|}$

dla ${\displaystyle z\in B}$ oraz

${\displaystyle {\big |}f'(0){\big |}\leqslant 1.}$

Ponadto jeśli ${\displaystyle |f(z)\displaystyle |=|z|}$ dla choć jednego punktu ${\displaystyle z\neq 0}$ należącego do zbioru ${\displaystyle B}$ lub ${\displaystyle |f'(0)\displaystyle |=1,}$ to istnieje stała ${\displaystyle \lambda }$ spełniająca ${\displaystyle |\lambda |=1,}$ dla której ${\displaystyle f(z)=\lambda z.}$