Metoda siecznych

Metoda siecznych, w literaturze polskojęzycznej czasem metoda cięciw^[1] – metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Ma tę zaletę, że do użycia jej niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji ani nawet założenie różniczkowalności.

Polega ona na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ krzywą ${\displaystyle y=f(x)}$ zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji ${\displaystyle f(x),}$ mającej pierwiastek w przedziale ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=a&\\x_{1}=b&\\x_{n+1}={\frac {f(x_{n})x_{n-1}-f(x_{n-1})x_{n}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}\end{cases}}}$

Aby metoda się powiodła, dla każdego n musi zachodzić ${\displaystyle f(x_{n})f(x_{n-1})<0,}$ gdyż tylko wtedy sieczna przechodząca przez punkty ${\displaystyle (x_{n},f(x_{n}))}$ i ${\displaystyle (x_{n-1},f(x_{n-1}))}$ przecina oś OX. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna.

Metoda ta zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej ${\displaystyle f(x)}$ na odcinku ${\displaystyle [a,b]}$ takiej, że ${\displaystyle f(a)f(b)<0.}$

Polega ona na wyznaczaniu takich ciągów ${\displaystyle a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{n},}$ takich, że ${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\dots >a,}$ ${\displaystyle b_{n}<b_{n-1}<\dots <b}$ i dla każdego n ${\displaystyle f(a_{n})f(b_{n})<0.}$ Między ${\displaystyle a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{n}}$ musi być pierwiastek funkcji, a przedziały ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ tworzą ciąg zstępujący. Zbieżność ciągów ${\displaystyle a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{n}}$ do tej samej granicy będącej pierwiastkiem równania ${\displaystyle f(x)=0}$ zapewnia następująca reguła rekurencyjna:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{0}=a&\\b_{0}=b&\\\quad \ \ x={\frac {f(a_{n})b_{n}-f(b_{n})a_{n}}{f(a_{n})-f(b_{n-1})}}\\{\textrm {Jezeli}}\ \ f(x)f(a_{n})>0\ \ {\textrm {to}}\ \ a_{n+1}=x,b_{n+1}=b_{n}\\{\textrm {Jezeli}}\ \ f(x)f(b_{n})>0\ \ {\textrm {to}}\ \ a_{n+1}=a_{n},b_{n+1}=x\end{cases}}}$

Polega ona na wyznaczeniu punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty ${\displaystyle (a_{n},f(a_{n}))}$ i ${\displaystyle (b_{n},f(b_{n}))}$ z osią OX i zastąpienia tym punktem jeden z końców przedziału, gdzie znajduje się pierwiastek.

Do wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego służą też:

• metoda bisekcji
• metoda stycznych (Newtona-Raphsona)
• odwrotna interpolacja kwadratowa
• regula falsi