Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.
Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.
Definicja
Niech i będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją między zbiorami i nazywa się przyporządkowanie każdemu niepustego zbioru Jeśli jest multifunkcją między i to oznacza się to czasami symbolem
Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję jako funkcję pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.
Obrazem zbioru poprzez multifunkcję nazywa się zbiór
Wykresem multifunkcji nazywamy zbiór
Multifunkcją odwrotną do multifunkcji nazywamy multifunkcję taką, że
Jeśli jest niepustym zbiorem oraz i są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję daną wzorem
Ponadto dla multifunkcji definiuje się (dla ):
m-produkt
Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.
Niech będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji
Jeśli dla każdego to m-produkt oznaczamy symbolem Jeśli to multifunkcję daną wzorem
nazywamy rzutowaniem na
Topologia w m-produkcie
Jeśli są przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci
Bibliografia
Geoffrey Fox, Pedro Morales, Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. vol. 64, nr 1 (1976), s. 137–143.