Nierówność Bonsego

Nierówność Bonsego – twierdzenie ustalające zależność między kwadratem liczby pierwszej a iloczynem liczb pierwszych mniejszych od tej liczby.

Dla każdego n > 4 {\displaystyle n>4} zachodzi:

p n 2 < p 1 ⋅ p 2 ⋅ p 3 … p n − 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ p n − 1 . {\displaystyle {p_{n}}^{2}<p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\ldots p_{n-1}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots \cdot p_{n-1}.}

Przykładowo:

121 = 11 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210 {\displaystyle 121=11^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}
169 = 13 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 2310 {\displaystyle 169=13^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}
289 = 17 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 30030 {\displaystyle 289=17^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}

Zależność odkryta i udowodniona przez H. Bonsego w roku 1907[1],

Przypisy

  1. ↑ H. Bonse, Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, „Archiv der Mathematik und Physik” 3 (12)/1907: s. 292–295.

Bibliografia

  • Uspensky J.V., Heaslet M.A., Elementary Number Theory, New York: McGraw Hill, 1939, s. 87.
  • Zhang, Shaohua (2009), „A new inequality involving primes”, arXiv:0908.2943v1.