Nierówność Kołmogorowa

Nierówność Kołmogorowa – nierówność leżąca u podstaw wielu twierdzeń granicznych (np. niektóre prawa wielkich liczb). Szczególnym przypadkiem tej nierówności (tzn. dla jednej zmiennej losowej) jest nierówność Czebyszewa.

Nierówność Kołmogorowa

Jeżeli zmienne losowe ξ 1 , … , ξ n {\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}} [1] są niezależne i całkowalne z kwadratem, to dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} prawdziwa jest nierówność

P ( max 1 ⩽ k ⩽ n | ∑ j = 1 k ξ j − E ξ j | ⩾ ε ) ⩽ 1 ε 2 ∑ k = 1 n D 2 ξ k , {\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}\left|\sum _{j=1}^{k}\xi _{j}-E\xi _{j}\right|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}D^{2}\xi _{k},}

gdzie D 2 ξ {\displaystyle D^{2}\xi } oznacza wariancję zmiennej ξ . {\displaystyle \xi .}

Przypisy

  1. ↑ Na ustalonej przestrzeni probabilistycznej ( Ω , A , P ) . {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P).}