Poprawka Bonferroniego

Poprawka Bonferroniego, poprawka Dunn – statystyczne narzędzie przeciwdziałania problemowi porównań wielokrotnych, polegające na zmniejszeniu nominalnego poziomu istotności każdego ze zbioru powiązanych testów wprost proporcjonalnie do ich ogólnej liczby^[1][2].

Poprawka jest nazwana na cześć włoskiego matematyka Carlo Emilio Bonferroniego, a jej zastosowanie we wnioskowaniu statystycznym opisała w 1959 r. amerykańska statystyczka Olive Jean Dunn^[2]. Metoda jest odporna na współzależności pomiędzy wynikami testów, kosztem obniżonej mocy testów. W późniejszych latach rozwinięto metody, które oszczędzają więcej mocy statystycznej, takie jak poprawka Holma-Bonferroniego lub procedura Benjaminiego-Hochberga.

Metoda sprowadza się do podzielenia nominalnego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ każdego z powiązanych testów przez ogólną liczbę testów ${\displaystyle m{:}}$

${\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\alpha }{m}}.}$

Na przykład przy wykonywaniu 5 powiązanych testów z poprawką Bonferroniego, należy użyć w każdym przypadku krytycznej wartości ${\displaystyle \alpha ={\frac {0{,}05}{5}}=0{,}01,}$ aby całe badanie zachowało poziom istotności 0,05.

Konstrukcja ta wynika z wywiedzionego przy pomocy nierówności Boole’a wzoru:

${\displaystyle {\text{FWER}}=P\left\{\bigcup _{i=1}^{m_{0}}\left(p_{i}\leqslant {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leqslant \sum _{i=1}^{m_{0}}\left\{P\left(p_{i}\leqslant {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leqslant m_{0}{\frac {\alpha }{m}}\leqslant m{\frac {\alpha }{m}}=\alpha .}$

Ogólny grupowy poziom błędów (ang. family-wise error rate, FWER) ${\displaystyle {\text{FWER}}}$ będzie równy lub niższy od nominalnego ${\displaystyle \alpha =5\%,}$ jeśli zastosujemy poprawkę ${\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\alpha }{m}},}$ zgodnie z nierównością Boole’a:

${\displaystyle \mathbb {P} {\bigg (}\bigcup _{i}A_{i}{\bigg )}\leqslant \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$