Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w
-ciele ogonowym rodziny niezależnych
-ciał są pewne lub niemożliwe.
Niech
będzie ciągiem zmiennych niezależnych. Niech
oznacza
-ciało generowane przez zmienną
Niech
będzie
-ciałem generowanym przez zmienne
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\cap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n,\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66bd0350bb6530f6d6ac7c240777b48b23e405d)
nazywamy
-ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia
jest
albo
Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.
Dowód
-ciało ogonowe jest
-ciałem jako przecięcie
-ciał.
-ciała
i
są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności
więc jest niezależne od
dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od
Ponieważ
zachodzi:
![{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (A\cap A)=\mathbb {P} (A)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba41ca84a5135c6395108924197961d9b7ecc0b7)
zatem
lub
bo tylko te liczby spełniają
Przykłady zdarzeń z
-ciała ogonowego
- wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych
(Lematy Borela-Cantellego) - szereg
jest zbieżny - ciąg
jest ograniczony - ciąg
jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1. Brak numerów stron w książce