Proste skośne

Proste skośne, proste wichrowate^[1] – proste, które się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe. Równoważnie – dwie proste są skośne, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie^[1]. Proste skośne występują w trzech lub więcej wymiarach.

Jeśli każda z dwóch prostych jest zadana za pomocą pary nieidentycznych punktów, to proste te są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy cztery definiujące je punkty nie są współpłaszczyznowe.

Dwie proste skośne określone są przez dwie pary punktów ${\displaystyle (\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})}$ i ${\displaystyle (\mathbf {v} _{3},\mathbf {v} _{4}).}$

Dowolne dwa punkty tych prostych mogą być zapisane jak wektor w postaci ${\displaystyle t(\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1}}$ i ${\displaystyle s(\mathbf {v} _{4}-\mathbf {v} _{3})-\mathbf {v} _{3}.}$ Odległość między dwoma takimi punktami może być obliczona przy użyciu twierdzenia Pitagorasa do współrzędnych i przegrupowaniu wynikowego wielomianu z ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle t}$ jako

${\displaystyle As^{2}+2Bst+Ct^{2}+2Ds+2Et+F,}$

gdzie:

${\displaystyle A=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{4}-v_{3}),\ \ B=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{1}-v_{2}),}$

${\displaystyle C=(v_{1}-v_{2})\cdot (v_{1}-v_{2}),\ \ D=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{3}-v_{1}),}$

${\displaystyle E=(v_{1}-v_{2})\cdot (v_{3}-v_{1}),\ \ F=(v_{3}-v_{1})\cdot (v_{3}-v_{1}).}$

Szukając minimum tego wyrażenia, otrzymujemy najmniejszą odległość między dwoma prostymi jako

${\displaystyle d^{2}={\frac {ACF+2BDE-AE^{2}-CD^{2}-FB^{2}}{AC-B^{2}}}={\frac {\det R}{\det S}},}$

gdzie ${\displaystyle R={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{bmatrix}}}$ i ${\displaystyle S={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}.}$

Wykorzystując Tożsamość Lagrange’a, można przepisać to do postaci:

${\displaystyle d={\frac {\left\|(v_{4}-v_{1})\wedge (v_{3}-v_{1})\wedge (v_{2}-v_{1})\right\|}{\left\|(v_{4}-v_{3})\wedge (v_{2}-v_{1})\right\|}},}$

w której operator ${\displaystyle \wedge }$ oznacza iloczyn zewnętrzny wektorów.