Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła

Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła – przestrzeń Banacha X {\displaystyle X} o tej własności, że dla każdej dodaniej liczby ε {\displaystyle \varepsilon } i każdego takiego elementu x {\displaystyle x} przestrzeni X {\displaystyle X} o normie równej 1, istnieje taka liczba δ > 0 {\displaystyle \delta >0} (zależna od ε {\displaystyle \varepsilon } i x {\displaystyle x} ), że jeżeli y {\displaystyle y} jest elementem przestrzeni X {\displaystyle X} o normie równej 1 oraz

‖ x − y ‖ ⩾ ε , {\displaystyle \|x-y\|\geqslant \varepsilon ,}

to

‖ x + y ‖ 2 ⩽ 1 − δ . {\displaystyle {\frac {\|x+y\|}{2}}\leqslant 1-\delta .}

Pojęcie przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłej uogólnia pojęcie przestrzeni jednostajnie wypukłej i zostało wprowadzone w roku 1955 przez A.R. Lovaglię[1] – udowodnił on, m.in., że ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} -suma przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłych nadal jest przestrzenią lokalnie jednostajnie wypukłą.

Dowodzi się, że przestrzeń Banacha jest lokalnie jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jej punktów ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} o wyrazach mających normę równą 1 oraz dla którego istnieje granica

lim n → ∞ ‖ x n + x 0 ‖ = 2 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}+x_{0}\|=2,}

przy pewnym elemencie x 0 {\displaystyle x_{0}} przestrzeni X {\displaystyle X} mającym normę 1, jest zbieżny do punktu x 0 . {\displaystyle x_{0}.}

W literaturze używane bywa także pojęcie słabo lokalnie jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha, które definiuje się zastępując warunek zbieżności ciągu ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} do x 0 {\displaystyle x_{0}} powyżej słabą zbieżnością.

Własności i przykłady

  • W przestrzeni C [ 0 , 1 ] {\displaystyle C[0,1]} wszystkich funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym z normą supremum (a więc, w szczególności, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha; por. twierdzenie Banacha-Mazura), istnieje norma równoważna, która jest lokalnie jednostajnie wypukła[2].
  • W każdej przestrzeni Banacha typu WCG istnieje norma lokalnie jednostajnie wypukła[3].
  • Jeżeli druga przestrzeń sprzężona X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}} przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, to X {\displaystyle X} jest refleksywna.
  • Przestrzeń sprzężona przestrzeni Banacha, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła ma również własność Radona-Nikodýma[4].
  • Szymon Draga udowodnił, że w każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} o tej własności, że przestrzeń sprzężona X ∗ {\displaystyle X^{*}} jest ośrodkowa można wprowadzić normę równoważną, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, ale nie lokalnie jednostajnie wypukła[5]

Przypisy

  1. ↑ A.R. Lovaglia, Locally uniformly convex Banach spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 78 (1955), s. 225–238.
  2. ↑ M.I. Kadec, Spaces isomorphic to a locally uniformly convex space, „Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat.” 13 (1959), s. 51–57.
  3. ↑ S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, „Studia Math.” 37, s. 173–180.
  4. ↑ J. Diestel, B. Faires, On vector measures, „Trans. Amer. Math. Soc.” 198 (1974), s. 253–271.
  5. ↑ Sz. Draga, On weakly locally uniformly rotund norms which are not locally uniformly rotund, „Colloq. Math.” 138 (2015), s. 241–246.

Bibliografia

  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 240. ISBN 0-8176-4367-2.