Przestrzeń regularna

Przestrzeń regularna i przestrzeń ${\displaystyle T_{3}}$ to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Powiemy, że w przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego ${\displaystyle F\subseteq X}$ i dowolnego punktu ${\displaystyle x\in X\setminus F}$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ takie że ${\displaystyle x\in U}$ i ${\displaystyle F\subseteq V{:}}$

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt ${\displaystyle x}$ i zbiór domknięty ${\displaystyle F}$ są rozdzielone przez otoczenia otwarte ${\displaystyle U,V}$.

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń ${\displaystyle T_{3}}$ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

• przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
• przestrzeń ${\displaystyle T_{3}}$ jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

• bycie przestrzenią ${\displaystyle T_{3}}$ i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest ${\displaystyle T_{3}.}$ W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}.}$ Na przykład rozważmy podzbiór ${\displaystyle M=:\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}}$ płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze ${\displaystyle M}$ wprowadzamy topologię ${\displaystyle \tau }$ przez określenie bazy otoczeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ w każdym punkcie ${\displaystyle (x,y)\in M{:}}$
  • jeśli ${\displaystyle y>0,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},}$
  • jeśli ${\displaystyle y=0,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci ${\displaystyle \{(x,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,}$ gdzie ${\displaystyle B}$ jest zbiorem skończonym,
  • ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},}$ gdzie ${\displaystyle U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:i\leqslant u\}.}$

Wtedy ${\displaystyle (M,\tau )}$ jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

• Istnieją przestrzenie ${\displaystyle T_{2}}$ które nie są ${\displaystyle T_{3}.}$ Rozważmy na przykład zbiór ${\displaystyle X=[0,1]}$ z topologią ${\displaystyle \tau }$ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na ${\displaystyle [0,1]}$ o zbiór ${\displaystyle [0,1]\setminus \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}.}$ Wtedy ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.

• Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ spełniająca warunek ${\displaystyle T_{1}}$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ i jego otoczenia otwartego ${\displaystyle V}$ (tak więc ${\displaystyle x\in V\subseteq X}$) istnieje otoczenie ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle x}$ którego domknięcie jest zawarte w ${\displaystyle V}$ (tzn. ${\displaystyle x\in U\subseteq \mathrm {cl} (U)\subseteq V}$).

• Każda regularna przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
• Podzbiór przestrzeni ${\displaystyle T_{3}}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią ${\displaystyle T_{3}.}$ Własność być przestrzenią ${\displaystyle T_{3}}$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni ${\displaystyle T_{3}}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{3}.}$

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń Hausdorffa ${\displaystyle (T_{2})}$
• przestrzeń Tichonowa ${\displaystyle (T_{3{\frac {1}{2}}})}$