Przestrzeń słabo ciągowo zupełna

Przestrzeń słabo ciągowo zupełna – przestrzeń Banacha ${\displaystyle E}$ o tej własności, że każdy słaby ciąg Cauchy’ego ${\displaystyle (x_{n})}$ punktów tej przestrzeni jest zbieżny w sensie słabej topologii (ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ punktów przestrzeni ${\displaystyle E}$ jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdy dla każdego funkcjonału liniowego i ciągłego ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle E}$ ciąg wartości ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ jest zbieżny w ciele skalarów).

• Domknięta podprzestrzeń przestrzeni słabo ciągowo zupełnej jest słabo ciągowo zupełna.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Niech ${\displaystyle (x_{n})}$ będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni refleksywnej ${\displaystyle X.}$ W szczególności, zbiór wyrazów tego ciągu jest ograniczony w normie (por. twierdzenie Banacha-Steinhausa), tj. istnieje taka stała dodatnia ${\displaystyle M,}$ że ${\displaystyle \|x_{n}\|\leqslant M}$ dla każdego ${\displaystyle n.}$ Ponieważ przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest refleksywna, z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kula domknięta ${\displaystyle B(0,M)}$ w przestrzeni ${\displaystyle X}$ o środku w zerze i promieniu ${\displaystyle M}$ jest słabo zwarta. Ciąg ${\displaystyle (x_{n}),}$ którego wyrazy zawarte są w ${\displaystyle B(0,M),}$ ma punkt skupienia ${\displaystyle x}$ (w słabej topologii), należący do ${\displaystyle B(0,M).}$ Ponieważ dla każdego funkcjonału ${\displaystyle f\in X^{*}}$ granica ${\displaystyle \lim f(x_{n})}$ istnieje, więc ${\displaystyle f(x)}$ jest punktem skupienia ciągu skalarów ${\displaystyle (f(x_{n})).}$ Ostatecznie, ${\displaystyle f(x)=\lim f(x_{n}).}$ Dowodzi to tego, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią słabo ciągowo zupełną. □

• Dla dowolnej miary ${\displaystyle \mu ,}$ przestrzeń L₁(μ) jest słabo ciągowo zupełna (jest to twierdzenie Steinhausa^[1]).
• Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna^[2] (zob. dowód).
• Przestrzeń Banacha, której przestrzenią sprzężoną jest algebra von Neumanna jest słabo ciągowo zupełna. W szczególności, przestrzeń sprzężona do C*-algebry jest słabo ciągowo zupełna.
• Przestrzeń c₀ nie jest słabo ciągowo zupełna. Jeżeli ${\displaystyle (e_{n})}$ oznacza jej kanoniczną bazę Schaudera, to ciąg ${\displaystyle (e_{1}+\ldots +e_{n})}$ jest słabym ciągiem Cauchy’ego, który nie jest słabo zbieżny. W szczególności, jeżeli ${\displaystyle K}$ jest nieskończoną przestrzenią zwartą, to przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ nie jest słabo ciągowo zupełna, bo zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle c_{0}.}$
• Krata Banacha jest słabo ciągowo zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z ${\displaystyle c_{0}.}$
• Druga przestrzeń sprzężona przestrzeni słabo ciągowo zupełnej nie musi być słabo ciągowo zupełna – stosownym kontrprzykładem jest ℓ₁-suma n-wymiarowych przestrzeni euklidesowych z normą maksimum, tj.

${\displaystyle E=\left(\textstyle \bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{\infty }^{n}\right)_{\ell _{1}}.}$

(gdyż ${\displaystyle E^{**}}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle \ell _{\infty }}$^[3]).

• F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
• J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Springer 1996, s. 31, 34–37 ISBN 3-540-60628-9.