Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.
Jest to metoda matematyczna służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań, np. w analizie statystycznej, przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.
Teza
Każdą macierz rzeczywistą
można przedstawić w postaci rozkładu SVD:
![{\displaystyle A=U\Sigma V^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6b88773bfea15b671e7fd15d044c2afb53c0df)
gdzie:
i
– macierze ortogonalne (czyli
),
– macierz diagonalna (przekątniowa), taka że
gdzie
– nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy
zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.
Własności
Jeżeli macierz
jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze
oraz
żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.
Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy
jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):
![{\displaystyle |\det(A)|=\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb56fa601b3c9f08c8f4fb9e00b62419a7fc8c8b)
Przykład
Rozważmy macierz:
![{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&0&3&0&0\\0&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492572717ad3256092d734add49aa2f2bd17250d)
Rozkład według wartości osobliwych tej macierzy jest następujący:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[1ex]{\boldsymbol {\Sigma }}&={\begin{bmatrix}4&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&{\sqrt {5}}&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\\[1ex]\mathbf {V} ^{T}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\{\sqrt {0{,}2}}&0&0&0&{\sqrt {0{,}8}}\\0&0&0&1&0\\-{\sqrt {0{,}8}}&0&0&0&{\sqrt {0{,}2}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b4e98b0d75835515d7cd5a0665583162eff70)
Przy czym wartości na przekątnej macierzy
to pierwiastki wartości własnych macierzy:
oraz istotnie:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \mathbf {U} ^{T}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed01dfab9b76bfaa9fe0c37d460e1bb58fea66f)
tudzież:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} \mathbf {V} ^{T}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b51c17984d4764f897c4b776271b314f3b575fb)
Zobacz też