Stopień 2. dwóch map z kuli na siebiePrzykład 4. stopnia
Stopień Brouwera lub inaczej stopień topologiczny – narzędzie pozwalające na określenie, czy dane równanie ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.
Definicja dla funkcji o wartościach w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej
Jeśli i są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru oraz to (addytywność).
Jeśli są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego mamy to wartość nie zależy od wyboru (homotopijna niezmienniczość).
Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce liczbę całkowitą spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.
Własności stopnia
Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:
Jeśli to istnieje takie, że
Jeśli oraz równość zachodzi dla argumentów z brzegu to
Jeśli oraz odległość pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości od obrazu brzegu: to
Jeśli oraz odległość punktów jest mniejsza od odległości od obrazu brzegu: to
Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) przez oznacza się indeks Morse’a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania Niech oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech Wtedy, jeśli to stopień topologiczny jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi
Zastosowania
Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifurkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.
Bibliografia
Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz: Wstęp do analizy nieliniowej, część 1: Teoria stopnia. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2003. ISBN 97-88323213-16-1. (pol.). Brak numerów stron w książce