Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.
Definicje
Jeżeli
są kategoriami, a
są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z
do
nazywamy rodzinę
morfizmów
kategorii
indeksowaną obiektami
taką, że dla dowolnego morfizmu
w
następujący diagram komutuje:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Natural_transformation.svg/175px-Natural_transformation.svg.png)
tzn.
[1][2]. Transformację taką oznaczamy symbolem
Morfizmy
nazywamy komponentami transformacji naturalnej
Funktory
i
nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy istnieje transformacja naturalna
morfizmów
taka, że dla każdego
morfizm
jest izomorfizmem w kategorii
Złożeniem transformacji naturalnych
i
jest transformacja naturalna
określona jako rodzina złożeń
Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii
do
Jeżeli
jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z
do
traktując
i
jako funktory kowariantne z kategorii
do
[3].
Przykłady
Niech
będzie kategorią przestrzeni liniowych
nad ciałem
i przekształceń liniowych
Przestrzeń sprzężona (dualna)
jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych
Przyporządkowując każdemu wektorowi
przestrzeni
funkcjonał
na
należący do
określony wzorem
dla
otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy
[4]. Rodzina
jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego
w funktor drugiej sprzężonej
określony przez przyporządkowanie obiektowe
Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.
Ogólniej, niech
oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem
i niech
będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z
do
(zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom
zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny
z
do
Każdemu
przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe
z
w
którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na
w funktor
[5].
Niech
oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii
grup abelowych). Funktor kowariantny
jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na
a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup
określone jako
dla homomorfizmów
Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych
i
gdzie
są symbolami tych zmiennych[3].
Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z
do
który każdej parze obiektów
(zbiorów w
) przyporządkowuje zbiór
a każdej parze morfizmów
przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi
Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje
przyporządkowujące parze
parę
Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C[6].
Transformacją naturalną dla funktora
z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja
która – mając daną listę – odwraca jej elementy:
![{\displaystyle [1,2,8,7]{\xrightarrow {\mathrm {rev} }}[7,8,2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3d8394a58a8ef8844582977e120fa17a5fa565)
Dla zbioru
komponent
jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z
Przypisy
Bibliografia
- Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
- Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.
Linki zewnętrzne
- Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
- Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
Functorial morphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].