Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°
W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.
Sinus i cosinus
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Tangens i cotangens
| |
| |
| |
| |
| |
Podawanie wzorów typu
nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.
Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.
Interpretacja na wykresie
Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.
1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:
- jeśli w argumencie jest
gdzie
jest równe np.
lub
to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o
w lewo. - jeśli w argumencie jest
to przesuwamy wykres o
w prawo. - jeśli w argumencie jest
to przesuwamy wykres o
w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.
2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.
3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:
- Jeśli przecina ją w punkcie
to wynikiem jest ![{\displaystyle \cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9af7ed6f44822021b74bb82b431022c7fd66b3)
- Jeśli przecina ją w punkcie
to wynikiem jest ![{\displaystyle -\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5dca2087cf314bb30116832bea1df5e00086be)
- Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest
(gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub
(gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens) - Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest
(gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub
(gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens) - Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do
rośnie, to wynikiem jest ![{\displaystyle \operatorname {ctg} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4c28880fd69e025def5ae18fa2111ecc38d7d)
- Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do
maleje, to wynikiem jest ![{\displaystyle -\operatorname {ctg} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1285f72c86dd1e82b53e0574281ada3a189c5e93)
Przykłady zastosowania
Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.
![{\displaystyle \sin(-1035^{\circ })=-\sin 1035^{\circ }=-\sin(2\cdot 360^{\circ }+315^{\circ })=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3e84ea3ffcf6ff8b86bfc4b2b2f5ed09967939)
W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.
Linki zewnętrzne
Trygonometria
działy | - goniometria
- trygonometria sferyczna
|
---|
funkcje trygonometryczne | - sinus
- cosinus
- tangens
- cotangens
- secans
- cosecans
|
---|
tożsamości trygonometryczne | |
---|
inne twierdzenia | |
---|
zagadnienia | |
---|
funkcje odwrotne – cyklometryczne | - arcus sinus
- arcus cosinus
- arcus tangens
- arcus cotangens
- arcus secans
- arcus cosecans
|
---|
powiązane pojęcia | geometryczne | |
---|
algebraiczne | |
---|
inne | |
---|
|
---|
powiązane działy matematyki | |
---|
badacze | |
---|
pokrewne funkcje | |
---|