Twierdzenie Eulera (okręgi)

Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.

Jeżeli w danym trójkącie ${\displaystyle d}$ jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r),}$

gdzie ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle r}$ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.

Niech:

• ${\displaystyle O}$ będzie środkiem okręgu o promieniu ${\displaystyle R}$ opisanego na danym trójkącie ${\displaystyle ABC,}$
• ${\displaystyle I}$ środkiem okręgu o promieniu ${\displaystyle r}$ wpisanego w ten trójkąt.

Dwusieczna ${\displaystyle AI}$ kąta ${\displaystyle \angle BAC}$ przecina okrąg opisany w pewnym punkcie ${\displaystyle L,}$ który połowi łuk ${\displaystyle BC.}$

Niech prosta ${\displaystyle LO}$ przecina okrąg opisany w punkcie ${\displaystyle M.}$

Niech ${\displaystyle D}$ będzie rzutem prostokątnym ${\displaystyle I}$ na ${\displaystyle AB{:}}$ ${\displaystyle ID=r.}$

Trójkąty ${\displaystyle ADI}$ i ${\displaystyle MBL}$ są podobne (cecha: równość kątów), a zatem ${\displaystyle ID:BL=AI:ML,}$ czyli ${\displaystyle ID\cdot ML=AI\cdot BL,}$ tzn. ${\displaystyle 2Rr=AI\cdot BL.}$ Rozważmy trójkąt ${\displaystyle BIL.}$

Ponieważ

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$

(${\displaystyle BI}$ jest dwusieczną kąta ${\displaystyle \angle ABC}$),

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}},}$

więc ${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$ i ${\displaystyle BL=IL,}$ skąd ${\displaystyle AI\cdot IL=2Rr.}$ Niech prosta ${\displaystyle OI}$ przecina okrąg opisany w punktach ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q.}$ Wtedy ${\displaystyle PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr,}$ czyli ${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr,}$ tzn. ${\displaystyle d^{2}=R(R-2r).}$

Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera^[1]:

${\displaystyle R\geqslant 2r.}$