Twierdzenie Hartmana-Grobmana

Twierdzenie Hartmana-Grobmana – twierdzenie jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych mówiące, że jeśli macierz linearyzacji równania nie ma czysto urojonych wartości własnych, to równanie jest topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją.

Niech ${\displaystyle \Omega }$ będzie niepustym zbiorem otwartym w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą funkcjami określonymi na ${\displaystyle \Omega }$ o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle n}$-wymiarowej spełniającymi lokalny warunek Lipschitza. Mówimy, że równania różniczkowe: ${\displaystyle x'(t)=f(x(t))}$ oraz ${\displaystyle x'(t)=g(x(t))}$ są topologicznie równoważne na otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ (czyli mają taką samą strukturę jakościową na otoczeniu tego punktu), jeżeli istnieje otwarte otoczenie ${\displaystyle U}$ tego punktu oraz homeomorfizm ${\displaystyle H\colon U\to V=H(U)\subset \Omega }$ odwzorowujący trajektorie fazowe równania ${\displaystyle x'(t)=f(x(t))}$ w ${\displaystyle U}$ na trajektorie fazowe równania ${\displaystyle x'(t)=g(x(t))}$ w ${\displaystyle V}$ i zachowujący orientację. Jeżeli homeomorfizm ${\displaystyle H}$ zachowuje jednocześnie parametryzację przez czas, to równania te nazywamy topologicznie sprzężonymi.

Niech ${\displaystyle \Omega }$ będzie niepustym zbiorem otwartym w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech ${\displaystyle \phi }$ oznacza układ dynamiczny indukowany przez równanie różniczkowe zwyczajne

${\displaystyle x'(t)=f(x(t)),}$

gdzie ${\displaystyle f\colon \Omega \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ jest odwzorowaniem klasy ${\displaystyle C^{1}.}$ Niech ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ będzie takim punktem stacjonarnym równania

${\displaystyle x'(t)=f(x(t)),}$

że

${\displaystyle \sigma (Df(x_{0}))\cap i\mathbb {R} =\varnothing .}$

Wówczas równania

${\displaystyle x'(t)=f(x(t)),}$

${\displaystyle x'(t)=Df(x_{0})x(t)}$

są sprzężone topologicznie na pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{0},}$ tzn. istnieje takie otwarte otoczenie ${\displaystyle U\subseteq \Omega }$ punktu ${\displaystyle x_{0}}$ oraz homeomorfizm ${\displaystyle h\colon U\longrightarrow V=h(U)\subseteq \Omega ,}$ że

${\displaystyle \forall \xi \in U\ \exists J(\xi )\subseteq \mathbb {R} \ \forall t\in J(\xi )\ h\circ \phi (t,\xi )=e^{Df(x_{0})t}\cdot h(\xi ).}$

• E.E. Coayla-Teran E.E., S. and Ruffino, P.S.R., P. Mohammed S. and Ruffino, P.S.R., P., Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories [PDF], „Discrete and Continuous Dynamical Systems”, 2, 17, 2007, s. 281–292, DOI: 10.3934/dcds.2007.17.281 [dostęp 2007-03-09] [zarchiwizowane z adresu 2007-07-24] .???
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. Brak numerów stron w książce