Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Załóżmy, że ${\displaystyle K}$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie ${\displaystyle f\colon K\to K}$ jest ciągłe. Ponieważ zbiór ${\displaystyle K}$ jest zwarty, to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje skończona ${\displaystyle \varepsilon }$ -sieć: ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\}\subset K.}$ Dla każdego ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,k\}}$ zdefiniujmy funkcję

${\displaystyle d_{i}(x)={\begin{cases}\varepsilon -\|x-p_{i}\|,&\mathrm {dla} \ \|x-p_{i}\|\leqslant \varepsilon ,\\0,&\mathrm {dla} \ \|x-p_{i}\|>\varepsilon ,\end{cases}}}$

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że ${\displaystyle {\tilde {K}}=K\cap \mathrm {aff} \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\},}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {aff} X}$ oznacza otoczkę afiniczną zbioru ${\displaystyle X,}$ i zdefiniujmy funkcję ${\displaystyle \varphi \colon K\to {\tilde {K}}}$ wzorem

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}d_{i}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}d_{i}(x)}},\;x\in K.}$

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\tilde {K}}\to {\tilde {K}},}$ określona wzorem ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\varphi (f(x)),}$ jest ciągła. Zbiór ${\displaystyle {\tilde {K}}}$ jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni ${\displaystyle \mathrm {lin} \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\}}$ o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt ${\displaystyle x_{\varepsilon }\in {\tilde {K}},}$ że ${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{\varepsilon })=x_{\varepsilon }.}$ Ponieważ

${\displaystyle \|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \|x_{\varepsilon }-{\tilde {f}}(x_{\varepsilon })\|+\|{\tilde {f}}(x_{\varepsilon })-f(x_{\varepsilon })\|,}$

to

${\displaystyle \|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \|\varphi (f(x_{\varepsilon }))-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \varepsilon ,}$

gdyż dla każdego ${\displaystyle x\in K}$ mamy ${\displaystyle \|\varphi (x)-x\|\leqslant \varepsilon .}$

Zatem ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|=0.}$ Ze zwartości zbioru ${\displaystyle K}$ wynika, że granica ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}x_{\varepsilon }}$ jest elementem zbioru ${\displaystyle K,}$ a z ciągłości funkcji ${\displaystyle f}$ – to, że jest ona punktem stałym funkcji ${\displaystyle f.}$

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

• Załóżmy, że ${\displaystyle K}$ jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja ${\displaystyle f\colon K\to K}$ jest ciągła i ${\displaystyle {\overline {f(K)}}}$ jest zbiorem zwartym. Wtedy ${\displaystyle f}$ ma punkt stały w zbiorze ${\displaystyle K.}$

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o ${\displaystyle K,}$ że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

• (Twierdzenie Schaudera-Tichonowa) Załóżmy, że ${\displaystyle K}$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja ${\displaystyle f\colon K\to K}$ jest ciągła. Wtedy ${\displaystyle f}$ ma punkt stały w zbiorze ${\displaystyle K.}$ Można odstąpić od założenia lokalnej wypukłości jak pokazał francuski matematyk Cauty (artykuł w Fundamenta Mathematicae).

• (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech ${\displaystyle K}$ będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś ${\displaystyle f\colon K\to K}$ będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości ${\displaystyle \psi }$ (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. ${\displaystyle \psi (\,f(A)\,)\leqslant k\cdot \psi (A)}$ przy ${\displaystyle A\subseteq K}$ dla pewnej stałej ${\displaystyle k<1.}$ Wówczas ${\displaystyle f}$ posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym. Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

• o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

• Twierdzenie Banacha o kontrakcji
• Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
• Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym