Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym
Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.
Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.
Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.
Dowód twierdzenia
Załóżmy, że jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie jest ciągłe. Ponieważ zbiór jest zwarty, to dla każdego istnieje skończona -sieć: Dla każdego zdefiniujmy funkcję
i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że gdzie oznacza otoczkę afiniczną zbioru i zdefiniujmy funkcję wzorem
Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja określona wzorem jest ciągła. Zbiór jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt że Ponieważ
to
gdyż dla każdego mamy
Zatem Ze zwartości zbioru wynika, że granica jest elementem zbioru a z ciągłości funkcji – to, że jest ona punktem stałym funkcji
Uogólnienia
Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:
- Załóżmy, że jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja jest ciągła i jest zbiorem zwartym. Wtedy ma punkt stały w zbiorze
Zamiast wypukłości wystarczy założyć o że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).
- (Twierdzenie Schaudera-Tichonowa) Załóżmy, że jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja jest ciągła. Wtedy ma punkt stały w zbiorze Można odstąpić od założenia lokalnej wypukłości jak pokazał francuski matematyk Cauty (artykuł w Fundamenta Mathematicae).
- (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. przy dla pewnej stałej Wówczas posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym. Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).
Zastosowania
Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:
- o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.
Zobacz też
- Twierdzenie Banacha o kontrakcji
- Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
- Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym