Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a[1]. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech ( B , + , ⋅ , ∼ , 0 , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )} będzie algebrą Boole’a.

Definicje

  • Powiemy, że zbiór F ⊆ B ∖ { 0 } {\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{\mathbf {0} \}} jest filtrem na algebrze B , {\displaystyle \mathbb {B} ,} gdy następujące warunki są spełnione:
(a) 1 ∈ F , {\displaystyle \mathbf {1} \in F,}
(b) jeśli a ∈ F {\displaystyle a\in F} oraz a ⩽ b ∈ B {\displaystyle a\leqslant b\in \mathbb {B} } (czyli a ⋅ ( ∼ b ) = 0 {\displaystyle a\cdot (\sim b)={\mathbf {0} }} ), to też b ∈ F , {\displaystyle b\in F,}
(c) jeśli a , b ∈ F , {\displaystyle a,b\in F,} to również a ⋅ b ∈ F . {\displaystyle a\cdot b\in F.}
  • Filtr F {\displaystyle F} na algebrze B {\displaystyle \mathbb {B} } jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym F {\displaystyle F} jest filtr F . {\displaystyle F.} (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze B {\displaystyle \mathbb {B} } są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze B {\displaystyle \mathbb {B} } jest oznaczany przez U l t ( B ) . {\displaystyle \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).}
  • Dla a ∈ B {\displaystyle a\in \mathbb {B} } definiuje się e ( a ) = { p ∈ U l t ( B ) : a ∈ p } ⊆ U l t ( B ) . {\displaystyle e(a)=\{p\in \mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\colon a\in p\}\subseteq \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).}

Obserwacje

  • Niech F ⊆ B ∖ { 0 } {\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}} będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) F {\displaystyle F} jest ultrafiltrem,
(ii) dla każdego elementu a ∈ B , {\displaystyle a\in \mathbb {B} ,} albo a ∈ F {\displaystyle a\in F} lub ∼ a ∈ F , {\displaystyle \sim a\in F,}
(iii) dla każdych a , b ∈ B , {\displaystyle a,b\in \mathbb {B} ,} jeśli a + b ∈ F , {\displaystyle a+b\in F,} to a ∈ F {\displaystyle a\in F} lub b ∈ F . {\displaystyle b\in F.}
  • Każdy filtr F ⊆ B ∖ { 0 } {\displaystyle F\subseteq \mathbb {B} \setminus \{{\mathbf {0} }\}} jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
  • Dla dowolnych a , b ∈ B {\displaystyle a,b\in \mathbb {B} } mamy, że
e ( a + b ) = e ( a ) ∪ e ( b ) , {\displaystyle e(a+b)=e(a)\cup e(b),} e ( a ⋅ b ) = e ( a ) ∩ e ( b ) {\displaystyle e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)} oraz e ( ∼ a ) = U l t ( B ) ∖ e ( a ) . {\displaystyle e(\sim a)=\mathrm {Ult} (\mathbb {B} )\setminus e(a).}
  • Rodzina { e ( a ) : a ∈ B } {\displaystyle \{e(a):a\in \mathbb {B} \}} jest bazą pewnej topologii τ S t {\displaystyle \tau _{\mathrm {St} }} na U l t ( B ) . {\displaystyle \mathrm {Ult} (\mathbb {B} ).} Przestrzeń topologiczna ( U l t ( B ) , τ S t ) {\displaystyle (\mathrm {Ult} (\mathbb {B} ),\tau _{\mathrm {St} })} jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2 (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry B {\displaystyle \mathbb {B} } ).
  • Odwzorowanie e {\displaystyle e} jest izomorfizmem pomiędzy algebrą B {\displaystyle \mathbb {B} } a ciałem CO(Ult) ( B ) {\displaystyle {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )} otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Dualność

Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualności

Dla każdej algebry Boole’a B {\displaystyle \mathbb {B} } istnieje izomorfizm

s B : B → CO(Ult) ( B ) , {\displaystyle s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),}

przy czym

  • dla każdej algebry Boole’a A {\displaystyle \mathbb {A} }
  • dla każdego homomorfizmu h : B → A {\displaystyle h\colon \mathbb {B} \to \mathbb {A} }

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

h ∗ : CO(Ult) ( A ) → CO(Ult) ( B ) , {\displaystyle h^{*}\colon {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} )\to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} ),}

że

h = s A − 1 ∘ h ∗ ∘ s B . {\displaystyle h=s_{\mathbb {A} }^{-1}\circ h^{*}\circ s_{\mathbb {B} }.}

Ponadto

  • jeżeli h ∗ {\displaystyle h^{*}} jest różnowartościowa, to h {\displaystyle h} jest epimorfizmem,
  • jeżeli h ∗ {\displaystyle h^{*}} jest „na”, to h {\displaystyle h} jest monomorfizmem,
  • jeżeli C {\displaystyle \mathbb {C} } jest algebrą Boole’a oraz g : C → B {\displaystyle g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {B} } jest homomorfizmem, to
( h ∘ g ) ∗ = g ∗ ∘ h ∗ . {\displaystyle (h\circ g)^{*}=g^{*}\circ h^{*}.}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Marshall Harvey Stone. The theory of representations for Boolean algebras. Transactions of the American Mathematical Society 40 (1936), no. 1, 37-111.

Bibliografia

  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 219, 347. ISBN 978-83-01-15232-1.