Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt zwany biegunem oraz półprostą o początku w punkcie zwaną osią biegunową.
Definicja
Każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje[1]:
promień wodzący punktu to jego odległość od bieguna,
amplituda punktu to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą a wektorem
Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna są równe O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).
Rys historyczny
Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku.
W XVII w. Bonaventura Cavalieri[2] użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa.
W 1647 Grégoire de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
W 1661 James Gregory, szkocki matematyk, użył podobnej metody.
Isaac Newton[3] dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego.
Jakob Bernoulli używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.
Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda)[4] pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.
Związek z układem kartezjańskim
Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego
Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański oraz układ biegunowy z biegunem i osią biegunową
Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego
Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:
zmiennych Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci
Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.
Okrąg o równaniu
Okrąg
Okrąg o środku w punkcie i promieniu jest opisany przez równanie
Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać
Róża
Róża o równaniu
Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie
gdzie jest dowolną stałą, jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.
Jeśli jest nieparzystąliczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków, a jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków. Dla innych wartości kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.
Parametry w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana spowoduje obrócenie krzywej, a wartość wyznacza odległość pomiędzy ramionami.
Prosta
Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie
gdzie to nachylenie prostej.
Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie zadana jest przez równanie
Krzywe stożkowe
Elipsa z zaznaczonym parametrem („semilatus rectum” – zielony kolor)
Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej ):
– parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).
Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji
Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b.
Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji i promieniami oraz (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe
tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji ograniczonej kątami oraz
Dowód:
Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).
Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie (por. rysunek). Niech oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie – liczba podziału przedziału kątowego na równe części; niech będzie kątem środkowym -tego wycinka, każdy z wycinków ma odpowiednio promień kąt środkowy i długość łuku Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:
Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:
Zwiększając liczbę podziałów pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy i polepsza się przybliżenie. Dla mamy – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna:
cnd.
Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych
Długość łuku (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty
gdzie oraz oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; – pochodna zmiennej po
Dowód:
(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej
W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: i są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia wynosi drugiego dla argumentu długość podstawy jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu umieszczamy punkt który dzieli to ramię w ten sposób, że zaś W ten sposób podzieliliśmy trójkąt na 2 mniejsze: równoramienny (o podstawie ) i Kąt oznaczmy jako zaś kąt – jako Kąty i znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa
Ponieważ więc:
Kąty i są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa
Ponieważ więc:
Skoro kąt znajduje się w trójkącie to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki i to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:
(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)
gdzie: – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej
Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.
↑Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. PWN, Warszawa 1976, strona 45.
↑Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635).
↑Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671).
↑Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
↑Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
↑ abI.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
↑ abSkładowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
↑Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.