| Ten artykuł należy dopracować: → napisać/poprawić definicję. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Wahaniem funkcji
na przedziale
nazywamy wielkość
![{\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup \sum _{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928266c62f274c01c59fe51790ce329c6c2dfff9)
gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach
przedziału
Jeśli funkcja
ma skończone wahanie, to mówimy, że
jest funkcją o wahaniu skończonym.
Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.
Przykłady
Jeśli funkcja
jest monotoniczna, to
Jeśli
jest funkcją charakterystyczną zbioru
wszystkich liczb wymiernych z przedziału
to
Niech
będzie dana wzorem
dla
i
Wówczas
jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.
Natomiast funkcja
dana wzorem
dla
i
ma wahanie skończone.
Encyklopedie internetowe (pojęcie matematyczne):