Zanurzenie (matematyka)
Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe obiektu w obiekt zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).
Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie podzbioru „identycznego” z obiektem
Teoria kategorii
W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].
Teoria mnogości
W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru w zbiór jest funkcja różnowartościowa
Zbiór można wtedy utożsamić ze zbiorem gdzie
Twierdzenie
Jeśli dla zbiorów i istnieją zanurzenia
- i
to istnieje funkcja różnowartościowa że
- [2].
Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
Dowód
Można założyć, że jest podzbiorem a funkcja realizuje to zawieranie. Niech będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:
Niech Wtedy oraz
Funkcja
jest bijekcją, bo
skąd wynika, że jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz
skąd wynika, że jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)[3].
Topologia
Topologia ogólna
W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń nazywa się odwzorowanie takie że przestrzeń jest homeomorficzna ze swoim obrazem
Przykłady
- Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamkniętą zwyczajną (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni znajdując odwzorowanie różnowartościowe (zanurzenie), takie że obrazem okręgu jest pewna krzywa
- W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.
- Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 2)
- Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 3)
- Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 5)
Mogą także przyjmować formy nieregularne.
Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].
Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Knot_table.svg/350px-Knot_table.svg.png)
Topologia różniczkowa
W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń jest dyfeomorfizm
Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich
- Zwarta -wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości (tzn. razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową o wymiarze Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa [5].
Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.
Topologia metryczna
Zanurzeniem przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną jest izometria
Algebra
W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.
Teoria grup
Homomorfizm grupy multiplikatywnej w grupę multiplikatywną jest zanurzeniem, jeśli
Przykłady
- Grupę obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych
- gdzie dla kąta
Grupę można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej
Teoria ciał
- Każdy homomorfizm ciała w pierścień przemienny niezerowy jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem )[6].
- W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych albo ciało -elementowe gdzie jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim – charakterystykę [7].
- Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym[8].
Teoria pierścieni
- Każdy pierścień bez dzielników zera można zanurzyć w jego pierścień ułamków[9].
Teoria modułów
- Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym w jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech będzie modułem nad pierścieniem Na iloczynie kartezjańskim można określić relację równoważności „”:
- ⇔ dla pewnego zachodzi równość
Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je a ich zbiór modułem ułamków Podobnie można określić pierścień ułamków Zbiór jest modułem nad pierścieniem Wtedy jeśli
- jest zanurzeniem modułu w moduł
to odwzorowanie
jest zanurzeniem i [11].
Przypisy
- ↑ Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 280–283.
- ↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 12–13.
- ↑ Janusz Kaja, O twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
- ↑ Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228–241.
- ↑ Pontriagin, op. cit., s. 21–22.
- ↑ Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
- ↑ J. Browkin, op. cit., s. 65.
- ↑ Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
- ↑ Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
- ↑ Zamkniętość względem mnożenia oznacza, że jeśli
- ↑ Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.).
Bibliografia
- Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).
- K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
- K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
- Л.С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
- J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
- S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
- S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
- М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.).