Zbiór Julii
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Julia_set_%28highres_01%29.jpg/220px-Julia_set_%28highres_01%29.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Julia_set_%28indigo%29.png/220px-Julia_set_%28indigo%29.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Julia_set_%28ice%29.png/220px-Julia_set_%28ice%29.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Julia_dem_c%3D-0.1%2B0.651.png/220px-Julia_dem_c%3D-0.1%2B0.651.png)
Zbiór Julii i zbiór Fatou – dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną[1]. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.
Zbiór Julii funkcji jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou, którzy w latach 1918–1920[2] badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.
Definicja
Niech będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespoloną na nią samą, tj. gdzie i są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów które są niezmiennicze przez i są takie, że:
- suma zbiorów jest zbiorem gęstym i
- zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów
Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający”, a w drugim „neutralny”.
Zbiory są dziedziną Fatou funkcji a ich suma jest zbiorem Fatou funkcji Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny tj. (skończony) punkt spełniający lub jeśli stopień wielomianu licznika jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika lub jeśli dla pewnej stałej i funkcja spełnia ten warunek.
Dopełnienie zbioru nazywa się zbiorem Julii funkcji [3]. Zbiór jest:
- nieprzeliczalny – jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych,
- nigdzie gęsty – nie zawiera punktów wewnętrznych.
Oba zbiory i są w pełni niezmiennicze[4].
Wielomiany kwadratowe
Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:
nie dąży do nieskończoności:
gdzie – liczba zespolona będąca parametrem zbioru.
Można wykazać, że jest to równoważne z:
Podsumowując jednym zdaniem:
Dla różnych otrzymuje się różne zbiory, stąd jest rodziną zbiorów.
Własności
Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli należy do zbioru Mandelbrota[5]. Jeśli zbiór Julii jest poza zbiorem Mandelbrota, składa się on ze zbioru rozproszonych punktów, taki zbiór nazywany jest pyłem Fatou[6].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Kudrewicz 1993 ↓, s. 91–92.
- ↑ Kudrewicz 1993 ↓, s. 91.
- ↑ zbiór Julii, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-26] .
- ↑ Kudrewicz 1993 ↓, s. 92.
- ↑ Kudrewicz 1993 ↓, s. 101.
- ↑ Banerjee i Darling 2020 ↓, s. 85–86.
Bibliografia
- Agnijo Banerjee, David Darling: Dziwna matematyka. Helion S.A., 2020. ISBN 83-283-5687-2.
- Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, s. 89–101. ISBN 83-204-1676-0.
Linki zewnętrzne
![]() | Zobacz galerię związaną z tematem: Zbiór Julii |
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Julia Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- FractalTS Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii
- Britannica: topic/Julia-set