Zmienne Mandelstama

Zmienne Mandelstama – wielkości fizyczne używane w teoretycznym opisie zderzeń cząstek elementarnych. Niosą informację o względnych pędach cząstek przed i po zderzeniu, są przy tym relatywistycznie niezmiennicze, czyli ich wartości nie zależą od układu odniesienia w którym zderzenie jest obserwowane. Pierwszy raz zostały użyte do opisu zderzeń przez Stanleya Mandelstama w roku 1958^[1] w pracy poświęconej teorii rozpraszania pionów na nukleonach.

Przyjmijmy, że zderzają się dwie cząstki o czteropędach ${\displaystyle p_{1}}$ i ${\displaystyle p_{2}}$ i masach spoczynkowych odpowiednio ${\displaystyle m_{1}}$ i ${\displaystyle m_{2}.}$ Po zderzeniu mamy dwie cząstki o czteropędach ${\displaystyle p_{3}}$ i ${\displaystyle p_{4}}$ oraz masach ${\displaystyle m_{3}}$ i ${\displaystyle m_{4}.}$ Zmienne Mandelstama zdefiniowane są w tych oznaczeniach następująco:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2},}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2},}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}.}$

Relatywistyczna niezmienniczość tych wielkości wynika bezpośrednio z faktu, że są one kwadratami długości czterowektorów.

Zmienna ${\displaystyle s}$ jest równa kwadratowi masy niezmienniczej układu (w układzie jednostek, w którym ${\displaystyle c=1}$). Zmienna ${\displaystyle t}$ jest kwadratem przekazu czteropędu w zderzeniu.

Zmienne Mandelstama nie są niezależne, związek pomiędzy nimi dany jest wzorem:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.}$

Uwaga: niektórzy autorzy definiują zmienne ${\displaystyle t}$ i ${\displaystyle u}$ z odwrotnymi znakami. Definicja podana powyżej jest zgodna z konwencją propagowaną przez Particle Data Group i stosowaną przez większość fizyków.

Jak widać z powyższej definicji, zmiana numeracji uczestniczących w zderzeniu cząstek może prowadzić do zamiany rolami zmiennych ${\displaystyle t}$ i ${\displaystyle u.}$ Aby uniknąć niejednoznaczności przyjmuje się konwencyjnie, że przez 3 oznaczamy cząstkę identyczną z 1, lub, jeżeli obie cząstki w wyniku zderzenia zmieniają się na inne – cząstkę bardziej podobną do 1. Na przykład w rozpraszaniu Comptona

${\displaystyle \gamma e^{-}\to \gamma e^{-}}$

za cząstkę 1 uważamy foton przed zderzeniem, zaś za cząstkę 3 foton rozproszony. Natomiast w reakcji:

${\displaystyle \pi ^{-}p\to \pi ^{0}n,}$

jeżeli za cząstkę 1 uznamy ${\displaystyle \pi ^{-},}$ to za cząstkę 3 należy uznać neutralny pion. Tym samym zmienna ${\displaystyle t}$ będzie w tym wypadku kwadratem różnicy czteropędów pionów przed i po reakcji.

Wzór na ${\displaystyle s}$ można przekształcić do postaci:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}.}$

Jeżeli energie zderzających się cząstek, mierzone w układzie środka masy, są znacznie większe od ich mas spoczynkowych, wówczas można w powyższym wzorze zaniedbać kwadraty mas, otrzymując wyrażenie przybliżone:

${\displaystyle s\approx 2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{3}\cdot p_{4}}$

i analogicznie dla pozostałych zmiennych

${\displaystyle t\approx -2p_{1}\cdot p_{3}\approx -2p_{2}\cdot p_{4},}$

${\displaystyle u\approx -2p_{1}\cdot p_{4}\approx -2p_{2}\cdot p_{3}.}$

Zderzenie dwuciałowe (czyli takie, w którym tak w stanie początkowym, jak i końcowym, mamy dwie cząstki) można w najniższym rzędzie rachunku zaburzeń opisać przedstawionymi poniżej diagramami Feynmana.

kanał s	kanał t	kanał u

Zmienne Mandelstama stały się źródłem nazw nadanych poszczególnym diagramom. I tak, w zderzeniu przebiegającym według schematu opisywanego przez pierwszy z diagramów cząstki 1 i 2 łączą się, tworząc wirtualną cząstkę o masie ${\displaystyle {\sqrt {s}},}$ która rozpada się następnie na końcowe produkty zderzenia. Ten schemat nazywany jest kanałem s reakcji.

Reakcja w kanale t przebiega w taki sposób, że pomiędzy zderzającymi się cząstkami wymieniana jest cząstka wirtualna. W wyniku oddziaływania z nią cząstka 1 zamienia się w 3, zaś 2 w 4. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wirtualnej wynosi w tej sytuacji ${\displaystyle t.}$

Kanał u jest podobny do kanału t, z tym, że w wyniku emisji lub pochłonięcia cząstki wirtualnej, cząstka 1 zmienia się w 4, zaś 2 w 3. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wynosi wtedy ${\displaystyle u.}$

• Donald H. Perkins: Wstęp do fizyki wysokich energii. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14246-4. Brak numerów stron w książce
• Particle Data Group: C. Amsler et al.. Review of Particle Physics. „Physics Letters”. B667 (2008). s. 1. [dostęp 2008-11-04]. (ang.).