Campo vetorial de Beltrami

No cálculo vetorial, um campo vetorial de Beltrami, nomeado em homenagem a Eugenio Beltrami, é um campo vetorial de três dimensões que é paralelo ao seu próprio rotacional. Ou seja, ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ é um campo vetorial de Beltrami se:^[1][2][3]

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}\times ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})=0}$

Portanto, ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ e ${\displaystyle ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})}$ são paralelos, sendo ${\displaystyle ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})=\lambda {\overrightarrow {F}}}$.

Se ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$for solenoidal, ou seja, ${\displaystyle {\overrightarrow {\triangledown }}\cdot {\displaystyle {\overrightarrow {F}}}=0}$ , como um fluido incompressível, a identidade ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}\times ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})\equiv -\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}+\triangledown (\triangledown \cdot {\overrightarrow {F}})}$ se torna ${\displaystyle \triangledown \times (\triangledown \times {\overrightarrow {F}})\equiv -\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}}$ o que nos leva a dizer que:

${\displaystyle -\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}=\triangledown \times (\lambda {\overrightarrow {F}})}$

e se assumirmos que ${\displaystyle \lambda }$ é uma constante, nós chegamos na simples fórmula:

${\displaystyle \triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}=-\lambda ^{2}{\overrightarrow {F}}}$

O campo vetorial de Beltrami com um rotacional não nulo, corresponde a formulas Euclidianas de Contato em três dimensões.

O campo vetorial

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}=-z/\surd (1+z^{2})i+1/\surd (1+z^{2})j}$

é um múltiplo da estrutura padrão de contato ${\displaystyle -zi+j}$, e provém um exemplo de um campo vetorial de Beltrami.

Referências

• Portal da matemática