Classe de equivalência

Em matemática, dado um conjunto ${\displaystyle X\,}$ com uma relação de equivalência ${\displaystyle \sim \,}$, a classe de equivalência de um elemento ${\displaystyle a\in X\,}$ é o subconjunto de todos os elementos de ${\displaystyle X\,}$ que são equivalentes a ${\displaystyle a\,}$.

• ${\displaystyle [a]=\{x\in X\quad |\quad a\sim x\}}$

• Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ por x ~ y quando x - y for um número par. Então ${\displaystyle \ldots =[-3]=[-1]=[1]=[3]=\ldots \,}$ é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, ${\displaystyle \ldots =[-2]=[0]=[2]=\ldots \,}$ é outra classe de equivalência.

• Se ${\displaystyle x\sim y\Rightarrow [x]=[y]}$;
• Classes de equivalência diferentes não têm elementos em comum: Se ${\displaystyle [x]\neq [y]}$ então ${\displaystyle [x]\cap [y]=\varnothing }$;
• Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: ${\displaystyle \forall x,y\in X\ ([x]=[y]\ \lor \ [x]\cap [y]=\varnothing )}$;
• A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = ${\displaystyle \cup _{\forall x\in X}}$ [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

${\displaystyle X/\sim =\{[x]\quad |\quad x\in X\}}$

Note que, como para cada elemento ${\displaystyle x\in X}$ podemos associar um elemento de ${\displaystyle [x]\in X/\sim }$, existe uma função natural de ${\displaystyle X\rightarrow X/\sim }$. Esta função é chamada de projeção canônica.

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em ${\displaystyle \left[0,1\right]\in \mathbb {R} \,}$ definida por ${\displaystyle x\sim y\leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,}$, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja ${\displaystyle \sim \,}$ uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto ${\displaystyle X_{1}\subset X\,}$ que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.

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