Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :
.
Breve história
Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.
Propriedade da congruência
- Se
então existe um inteiro k tal que a = b + km. - Sempre
; - Se
, então:
; - Se
e
, então:
; - Se
e
, então ![{\displaystyle ad\equiv b(mod\;m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21ef001c16f6f75a7d5f47abf78842fe9a4bc79)
- Se
, então:
, onde c é um inteiro; - Se
, então:
, onde c é um inteiro; - Se
, então:
, onde c é um inteiro; - Se
e
, então:
; - Se
e
, então:
; - Se
e
, então:
;
Observe que desta última propriedade acima deriva que:
- Se
e
é um número inteiro positivo, então:
; - Se
, então:
, onde d é o máximo divisor comum de c e m.
Congruência linear
Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma:
.
Propriedade da congruência linear
- Tenhamos uma congruência
e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.
Equação Diofantina
Uma equação diofantina é uma equação da forma
. Seja
o MDC de
e
, se
não divide
então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se
então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma:
e
, onde
e
são soluções particulares e
é qualquer inteiro.
Ver também
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