Conjectura da soma de potências de Euler

A conjectura de Euler é dada pela igualdade:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k},n>k

cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, quem primeiro a propôs em 1769. Euler propôs que para todo inteiro k maior que 1, a soma de k potências n dos números inteiros positivos $a_{i}$ não pode ser igual ao número inteiro positivo $b^{k}$ . É uma fórmula matemática que mostra bastante semelhança com o Último Teorema de Fermat.

A conjectura foi falseada por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966, quando encontraram o seguinte contra-exemplo para k = 5:

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 ( $x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}$ ). Seu contra-exemplo foi:

2.682.440^{4}+15.365.639^{4}+18.796.760^{4}=20.615.673^{4}

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

95.800^{4}+217.519^{4}+414.560^{4}=422.481^{4}

. Visto que 27⁵+84⁵+110⁵+135⁵ =144⁵ é uma igualdade verdadeira usando k, vem: (k.27)⁵+(k.84)⁵+(k.110)⁵+(k.135)⁵ = (k.144)⁵ é também verdadeira! pois a afirmação: Se a igualdade: x₁ⁿ+ x₂ⁿ +x₃ⁿ + ... + x_iⁿ+... + x_mⁿ = y₁ⁿ + y₂ⁿ+ y₃ⁿ+ ... + (y_i)ⁿ+... + y_pⁿ for verdadeira, também será verdadeira a igualdade: (kx₁)ⁿ+( kx₂) ⁿ +( kx₃) ⁿ+...+( kx_i)ⁿ+... + (x_m)ⁿ =(k y₁)ⁿ + (ky₂)ⁿ+ (ky₃)ⁿ+ ... + (ky_i)ⁿ+... +( ky_p)ⁿ Prova-se essa verdade pelo método direto. Essa Relação também se aplica a conjectura de Euler para n = 4: x⁴+ y⁴ + z⁴ = w⁴ uma vez que 2.682.440⁴ +15.365.639⁴ + 18.796.760⁴ =(20.615.673)⁴ é uma igualdade verdadeira, conforme visto acima, e portanto uma solução para a conjectura de Euler, pela relação dada acima: (k2.682.440)⁴ +(k15.365.639)⁴ + (k18.796.760)⁴ =(k20.615.673)⁴ fornece outras infinitas soluções para a conjectura de Euler. Dito de outra forma, a pergunta sobre se há infinitas soluções sobre a conjectura de Euler foi respondida.