Desigualdade de Minkowski

Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em L^p .

Seja ${\displaystyle S}$ um espaço normado, ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty \,}$ e ${\displaystyle f\,}$ e ${\displaystyle g\,}$ elementos de ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$. Então ${\displaystyle f+g\,}$ é um elemento de ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$, e temos a Desigualdade de Minkowski:

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.}$

A igualdade irá acontecer somente no caso de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma ${\displaystyle \ell ^{p}}$:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

onde ${\displaystyle x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ y_{1},\cdots ,\ y_{n}}$ são números reais (ou números complexos) e ${\displaystyle n}$ é a cardinalidade de ${\displaystyle S}$.

Dado ${\displaystyle p>1\,}$, tome ${\displaystyle q\,}$ tal que ${\displaystyle 1/p+1/q=1\,}$.

Por definição temos que

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}d\mu =\int |f+g||f+g|^{p-1}d\mu \,}$

Pela desigualdade triangular podemos afirmar que

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu +\int \left|g\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \,}$

Pela Desigualdade de Hölder temos que

${\displaystyle \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \leq \left\|f\right\|_{p}\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}\,}$

Mas, por definição da norma,

${\displaystyle \left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}=\left(\int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int \left|\left(f+g\right)\right|^{p}\right)^{\frac {p-1}{p}}=\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}$

uma vez que ${\displaystyle (p-1)q=p}$ e ${\displaystyle 1/q=1-1/p}$.

Daí concluímos que

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \left(\left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}\right)\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}$

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por ${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}$.

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,}$. .

• G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)