Na física, as equações de Maxwell no espaço-tempo curvo governam a dinâmica do campo eletromagnético no espaço-tempo curvo [1] (onde a métrica não pode ser a métrica de Minkowski) ou quando se usa um sistema , não necessariamente cartesiano, arbitrário de coordenadas. Estas equações podem ser vistas como uma generalização das equações de Maxwell, que são normalmente formuladas nas coordenadas locais[nota 1] do espaço-tempo plano. Entretanto porque a relatividade geral dita que a presença de campos eletromagnéticos (ou energia/matéria em geral) induzem curvatura do espaço-tempo, as equações de Maxwell no espaço-tempo plano devem ser vistas como uma aproximação.
Campo electromagnético
O campo electromagnético[2] é um tensor antissimétrico covariante de classe 2,[3] que pode ser definido em termos de potencial electromagnético por
Para verificar que esta equação é invariante, podemos transformar as coordenadas (tal como descrito no tratamento clássico de tensores)
Esta definição implica que o campo electromagnético satisfaz
que incorpora a lei de indução de Faraday e lei de Gauss[4] para o magnetismo. Isto é demonstrado por
Embora parece ter 64 equações em Faraday-Gauss, elas realmente reduzem-se a apenas quatro equações independentes .[5] Utilizando a antisimetria do campo electromagnético pode-se reduzir a uma identidade (0 = 0) ou tornar redundante todas as equações, com excepção para aqueles com λ, μ, ν = 1,2,3; ou 2,3,0; ou 3,0,1; ou 0,1,2.
A equação de Faraday-Gauss é por vezes escrita
onde o ponto e vírgula indica uma derivada covariante, vírgula indica uma derivada parcial, e colchetes indicam anti-simetrização (Veja Gregorio Ricci-Curbastro).[6] A derivada covariante do campo eletromagnético é
onde Γαβ γ é o símbolo de Christoffel que é simétrico em seus índices mais baixos.
Referências
- ↑ G S Hall (maio de 1984). «The significance of curvature in general relativity». Consultado em 7 de fev. de 2013
- ↑ Michael R.R. Good (21 de maio de 2006). «Maxwell's Equations in one unified expression» (PDF)
- ↑ F. C. Santos, J. J. Passos Sobrinho, and A. C. Tort. «Electromagnetic Field Correlators, Maxwell Stress Tensor,and the Casimir Effect for Parallel Walls» (PDF). Brazilian Journal of Physics, vol. 35, no. 3A, September, 2005 657. Consultado em 7 de Fev. 2013 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- ↑ Tai L. Chow. «Introduction to Electromagnetic Theory: A Modern Perspective»
- ↑ E. R. Huggins. «Maxwell's Equations» (PDF). Consultado em 13 de fev. de 2013
- ↑ John M. Lee. «A Mathematica package for doing tensor calculations in differential» (PDF). 1992. Consultado em 18 de fevereiro de 2013
Notas
- ↑ Coordenadas locais são índices de medição em um sistema de coordenadas locais ou um espaço de coordenadas locais.
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