Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.
Enunciado
Seja
um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam
e
matrizes em
e
, respectivamente. Se
denota o conjunto de
-tuplas estritamente crescentes com componentes em
, das quais há
, e se
é obtida de
quando selecionadas as colunas de acordo com
, e
é obtida de
selecionando linhas similarmente, então
,
se
e
caso contrário.
Prova
Se
está em
, escreveremos
,
. Consideraremos um elemento de
como uma matriz em
. Se
é um inteiro positivo, escreveremos
.
A multilinearidade alternada de
para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que
detém essa propriedade, dada uma função
, i.e. uma matriz em
, para a qual existem
com
e
para todo
, note que temos a partição do conjunto
. Daí, uma vez que toda permutação em
tem sinal
, temos
.
Pela comutatividade de
,
,
e uma vez que
,
, a soma se reduz de fato a zero. Que
é multilinear é imediato.
Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:
Fixe
e defina a aplicação
por
. Faça
e
, de forma que
. Note que
. Vê-se que a aplicação
é multilinear alternada, logo
.
Se
, haverá repetição em toda lista
; tendo em vista a alternância de
, segue que
.
Se
, a soma se estende sobre o conjunto de todas as
-tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas
-tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta
em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em
símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com
. Se
e
estão relacionados por meio de uma permutação
, então por alternância de
, vale
. Essas observações nos levam a
.
Mas
,
e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão
é consequência imediata, pois em tal caso
, reduzindo a soma a
A fórmula também implica que para qualquer matriz
,
com entradas em um anel comutativo com unidade,
é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de
de ordem
.
Ligações externas
- «Cauchy-Binet formula». no PlanetMath
- «A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula» (PDF)
Referências
(em inglês) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.
(em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.
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