Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.
A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.
Definição para funções reais de uma variável Seja f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } um função com domínio D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } , então:
f {\displaystyle f} é dita ser de classe C 0 ( D , R ) {\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} )} se for uma função contínua . f {\displaystyle f} é dita ser de classe C 1 ( D , R ) {\displaystyle C^{1}(D,\mathbb {R} )} se sua primeira derivada for uma função contínua . f {\displaystyle f} é dita ser de classe C n ( D , R ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )} se sua n-ésima derivada for uma função contínua . f {\displaystyle f} é dita ser suave ou de classe C ∞ ( D , R ) {\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} )} se for de classe C n ( D , R ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )} para todo n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} é dita ser analítica ou de classe C ω ( D , R ) {\displaystyle C^{\omega }(D,\mathbb {R} )} se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.
Definições para funções de várias variáveis Seja f : D → R m {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{m}} um função com domínio D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f {\displaystyle f} é dita ser de classe C 0 ( D , R n ) {\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} ^{n})} se for uma função contínua . f {\displaystyle f} é dita ser de classe C n ( D , R n ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})} se todas as suas derivadas parciais de ordem até n {\displaystyle n} forem funções contínuas . f {\displaystyle f} é dita ser suave ou de classe C ∞ ( D , R n ) {\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})} se for de classe C n ( D , R n ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})} para todo n {\displaystyle n}
Exemplos A função f (x )=x para x ≥0 e 0 caso contrário. A função f (x )=x 2 sin(1/x ) para x >0. Um função suave não analítica. A função
f ( x ) = { x se x ≥ 0 , 0 se x < 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\mbox{se }}x<0\end{cases}}} é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe C 0 {\displaystyle C^{0}} mas não de classe C 1 {\displaystyle C^{1}} .
A função
f ( x ) = { x 2 sin 1 / x se x ≠ 0 , 0 se x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0\end{cases}}} é diferenciável, com derivada
f ′ ( x ) = { 2 x sin 1 / x − cos 1 / x se x ≠ 0 , 0 se x = 0. {\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x\sin {1/x}-\cos {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0.\end{cases}}} Como o limite de cos ( 1 / x ) {\displaystyle \cos(1/x)} não existe quando x {\displaystyle x} se aproxima de zero, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} não é contínua na origem. Portanto, a função f {\displaystyle f} é diferenciável mas não é de classe C1 .
A função
f ( x ) = { e − 1 / ( 1 − x 2 ) se | x | < 1 , 0 caso contrario {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ se }}|x|<1,\\0&{\mbox{ caso contrario }}\end{cases}}} é suave, e portanto de classe C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} , mas não é analítica , portanto não é de classe C ω {\displaystyle C^{\omega }} . Ver artigo Exp(-1/x).
A função exponencial é analítica e, portanto, de classe C ω {\displaystyle C^{\omega }} .
Ver também Difeomorfismo Concordância (tangência) Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o .