Regras de inferência são regras de transformação sintáticas que podem ser usadas para inferir uma conclusão a partir de uma premissa, para criar um argumento. Um conjunto de regras pode ser usada para inferir qualquer conclusão válida, se esta conclusão for completa. Entretanto nunca se pode inferir uma conclusão inválida, se isto for assegurado. Um completo e seguro conjunto de regras não precisa incluir cada regra da listagem a seguir, já que muitas delas são redundantes, e podem ser provadas com o uso de outras regras.
Regras de Inferência Para Cálculo Proposicional Clássico
Regras para negações
Redução ao absurdo (ou Introdução da Negação)
Redução ao absurdo (Relacionada à lei do terceiro excluído)
Eliminação da negação
Eliminação da dupla negação
Introdução da dupla negação
Regras de inferência para condicionais
Introdução do condicional
Modus ponens (ou Eliminação do condicional)
Modus tollens
Regras para conjunções
Introdução da conjunção
Eliminação da conjunção
Regras para disjunções
Introdução da disjunção
Eliminação da disjunção
Silogismo disjuntivo
Regras para bicondicionais
Introdução do bicondicional
Eliminação do bicondicional
Regras de Inferência para Lógica Clássica de Primeira Ordem
Regras para universais
Introdução do universal
Restrição: não pode ocorrer livre em ou em qualquer hipótese vigente.
Eliminação do universal
Regras para existenciais
Introdução do existencial
A esta regra coloca-se a restrição de que deve ser substituível por em .
Eliminação do existencial
Restrição: não pode ocorrer livre em , em ou em qualquer hipótese vigente.
Regras de Inferência Derivadas
Por meio das regras de inferência diretas e hipotéticas podemos demonstrar vários raciocínios bastante recorrentes. Estes raciocínios, uma vez demonstrados, podem ser usados como regras de inferência diretas. Elas não são necessárias, mas são bastante úteis, tornando nossas derivações muito mais sucintas.
Agora ampliaremos nossa lista de regras de inferência, além de fazer suas respectivas demonstrações.
Repetição (R)
1.
Premissa
2.
1 DN
3.
2 DN
Modus Tollens (MT)
1.
Premissa
2.
Premissa
3.
Hipótese
4.
1,3 MP
5.
2,4 C
6.
3,5 RAA
Prefixação (PRF)
1.
Premissa
2.
Hipótese
3.
1 R
4.
2,3 RPC
Contraposição (CT)
Utilizaremos o Modus Tollens como regra de inferência.
1.
Premissa
2.
Hipótese
3.
1,2 MT
4.
2,3 RPC
Contradição (CTR)
1.
Premissa
2.
Premissa
3.
1 E
4.
2,3 SD
Lei de Duns Scotus (DS)
1.
Premissa
2.
Hipótese
3.
1,2 CTR
4.
2,3 RPC
Lei de De Morgan I (DM)
01.
Premissa
02.
Hipótese
03.
2 E
04.
1,3 C
05.
2,4 RAA
06.
Hipótese
07.
6 E
08.
1,7 C
09.
6,8 RAA
10.
5,9 C
Lei de De Morgan II (DM)
01.
Premissa
02.
Hipótese
03.
Hipótese
04.
3 E
05.
5,2 C
06.
3,5 RAA
07.
6 DN
08.
Hipótese
09.
8 E
10.
9,2 C
11.
8,10 RAA
12.
11 DN
13.
7,12 C
14.
13,1 C
15.
2,14 RAA
16.
15 DN
Legendas
DN - Dupla Negação
SD - Sislogismo Disjuntivo
C - Conjunção
S - Separação
E - Expansão
MP - Modus Ponens
BC - Bicondicionais para bicondicionais
RAA - Redução ao absurdo
RPC - Regra de prova condicional
Tabela: Regras de Inferência
As regras acima podem ser colocadas na seguinte tabela. [1] A coluna de "Tautologias" mostra como interpretar a notação de determinada regra.
Regras de Inferência
Tautologias
Nomes
Modus ponens
Modus tollens
Associativa
Comutativa
Introdução do bicondicional
Exportação
Transposição da contrapositiva
Silogismo hipotético
Implicação material
Distributiva
Absorção
Silogismo disjuntivo
Introdução da disjunção
Eliminação da conjunção
Introdução da conjunção
Dupla negação
Simplificação da disjunção
Resolução
Todas as regras usam operadores lógicos básicos. A tabela completa de "operadores lógicos" é mostrada por uma tabela verdade, dando valoração verdade a todas as possíveis (16) funções verdade para 2 variáveis booleanas (p,q):