Em matemática, a Notação de Knuth (em inglês:Knuth's up-arrow notation) é um método de notação para inteiros muito grandes, introduzido por Donald Knuth em 1976 . É intimamente relacionada com a função de Ackermann e, especialmente, para a sequência de hiperoperações. A ideia é baseada no fato de que a multiplicação pode ser visto como uma adição iterada e a exponenciação como uma multiplicação iterada. Continuando desta forma se leva a exponenciação iterada (tetração) e para o restante da sequência de hiperoperação, que é comumente denotada pela notação da seta de Knuth.
Introdução
As operações aritméticas simples de adição, multiplicação e exponenciação são naturalmente estendidas em uma sequência de hiperoperações como segue.
Multiplicação por um número natural pode ser definida como uma adição iterada:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed056a77c42098d38cbcc7a45c00bea67a5b4e9)
Por exemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ cópias de }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b45c2c2c1e617cdb566c39c0768769e6125a44e)
Exponenciação para uma potência natural
pode ser definida como uma multiplicação iterada, denotada por Knuth por uma simples seta para cima:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48238df990fdba44ddf25d81298d3067c2158d2b)
Por exemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ cópias de }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ca1e98ea8a1a7c5ef9accf7951af8d9229dbe6)
Para estender a sequência de operações para além exponenciação, Knuth definiu um operador “seta dupla” para denotar a exponenciação iterada (tetração):
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ cópias de }}a&&b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2bd7bd0b433a74a9024bb6ffaa4b8ee6419575)
Por exemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}\approx 1.3\times 10^{154}\\&&3{\mbox{ cópias de }}4&&3{\mbox{ cópias de }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8d4396204c4c8740b93078a0188bed9d95a23e)
Aqui e abaixo a avaliação é para ser realizada da direita para a esquerda, uma vez que os operadores de seta de Knuth (como exponenciação) são definidos para serem associativos à direita.
Segundo esta definição,
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5217b6f0699e9e634d31a294211ccbc027f3cd0)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485abe9692695c1d2e602bb9794239437612d697)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1aee6f729d926da4441ddb83a719a8a6cb9c750)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd9642cdca24750ed9d36b02539c5040faa9f3d)
- etc.
Isso já leva a alguns números bastante grandes, mas Knuth estendeu a notação. Ele passou a definir um operador de seta "tripla" para a aplicação iterada do operador de seta dupla (também conhecido como pentação):
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad27326bb450ced8c27a845bb6750ac09de1cad)
seguido por um operador de 'seta quádrupla':
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec43045a271e008c90588172a699dd0609b5741)
e assim por diante. A regra geral é que um operador-
seta expande-se em uma série associativa à direita de (
)-operadores seta. Simbolicamente,
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ cópias de }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f44d56a9ec64e2325aad6c211576c8ed768602)
Exemplos:
A notação
é comumente usada para denotar
com n setas.
Notação
Em expressões tais como
, a notação para a exponenciação consiste geralmente em se escrever o expoente
como um número sobrescrito em relação ao número base
. Mas muitos ambientes — tais como nos fontes de linguagens de programação e em textos em formato de texto simples como mensagens de e-mail - não dispõe deste formato bidimensional. As pessoas adotaram a notação linear
para tais ambientes, a seta para cima sugere 'elevar à potência'. Se o conjunto de caracteres não contém uma seta para cima, o acento circunflexo ^ é usado em seu lugar.
A notação sobrescrita
não se presta bem a generalização, o que explica a razão de Knuth optar por trabalhar a partir da notação cursiva
em vez disso.
Escrevendo a notação de seta para cima em termos de potências
A tentativa de se escrever
usando a notação familiar com números sobrescritos resulta em uma torre de potências.
- Por exemplo:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow a\uparrow a\uparrow a=a^{a^{a^{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaae0970bfdf5c85b1c8369646a924287a7fadc)
Se b é uma variável (ou é muito grande), a torre de potências pode ser escrita usando pontos e uma nota indicando a altura da torre.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657de5a64d016cd2169ad6846c8a6b2dcbb75509)
Continuando com esta notação,
poderia ser escrita com uma pilha destas torres de potências, cada uma descrevendo o tamanho daquela que está acima de si.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0dd92a1281b4a22fb30840e3ae046e90a227f2)
Novamente, se b é uma variável ou é muito grande, a pilha pode ser escrita usando pontos e uma nota indicando a sua altura.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaf431ae1e3ae43dccbf865766fd86f401ebc8)
Além disso,
pode ser escrito usando-se várias colunas destas pilhas como torres de potências, cada coluna descrevendo o número de torres de potências na pilha à sua esquerda:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed7d2d637034b1227c18c82bc8ec64da158eda3)
E de forma mais geral:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbe7a05b2b86adcc384edb1349ea7d6f72bfa1a)
Isso pode ser realizado indefinidamente para representar
como uma exponenciação iterada de exponenciações iteradas para qualquer a,n e b(embora ele torna-se claramente bastante pesado).
Usando tetração
A notação de tetração
nos permite fazer estes diagramas de forma um pouco mais simples, ainda empregando uma representação geométrica (que poderíamos chamar estas de torres de tetração).
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=^{b}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c75b9e680d1bc76c2b4f5222695b9b2eca25a1)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cd0c41523276344c304fee5463abd5c6d7c942)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7583fbfab215ee44047ad7a6f73adfc2d14bec85)
Finalmente, a título de exemplo, o quarto número de Ackermann
poderia ser representado como:
![{\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9167a441053a1bd1ccb22f731b252972797511fe)
Generalizações
Alguns números são tão grandes que o uso de várias setas da notação de seta para cima de Knuth torna-se demasiado pesado; então um operador n-seta
é útil (e também para as descrições com um número variável de setas), ou de forma equivalente, hiper operadores.
Alguns números são tão grandes que até mesmo esta notação não é suficiente. O número de Graham é um exemplo. A Notação de seta encadeada de Conway pode ser usada: uma cadeia de três elementos é equivalente ao de outras notações, mas uma cadeia de quatro ou mais é ainda mais poderosa.
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662fafad9ccc9c24a4c06da32d1e46a43c559a0f)
Em geral, é sugerido que a seta de Knuth deva ser usada para números de menor magnitude, e a seta encadeada de Conway ou hiper operadores para os de maior magnitude.
Definição
A notação de seta para cima é formalmente definida por
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{se }}n=1;\\1,&{\mbox{se }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{em outro caso}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcfc4c874a33e1a01e8d2d43ef75f4aa015b512)
para todos inteiros
com
.
Todos os operadores de seta para cima (incluindo a exponenciação normal,
) são associativos à direita, ou seja, a avaliação é realizada da direita para a esquerda em uma expressão que contém dois ou mais desses operadores. Por exemplo,
, e não
; por exemplo
é
e não
Há uma boa razão para a escolha desta ordem de avaliação da direita para à esquerda. Se usássemos a avaliação da esquerda para a direita, então
seria igual a
, de modo que
não seria uma operação essencialmente nova. A associatividade à direita também é natural porque nós podemos reescrever a expressão de seta iterada
que aparece na expansão de
como
, de forma que todos os
s aparecem como operandos à esquerda dos operadores de seta. Isto é significativo uma vez que os operadores de seta não são comutativos.
Escrevendo
para a b-ésima potência funcional da função
nós temos
.
A definição poderia ser extrapolada um passo, começando com
se n = 0, porque exponenciação é uma multiplicação repetida iniciando em 1. Extrapolando mais um passo, escrevendo a multiplicação como uma adição repetida, não é tão simples, porque a multiplicação é a adição repetida a partir de 0 ao invés de 1. "Extrapolando" novamente um passo a mais, além de escrever n como adições repetidas de 1, se requer o começo com o número a. Compare com a definição de operador hiperoperador, onde os valores de partida para a adição e multiplicação também são especificados separadamente.
Tabelas de valores
A Computação de
pode ser reafirmada em termos de uma tabela infinita. Nós colocamos os números 2
na linha superior, e preenchemos a coluna da esquerda com valores 2. Para determinar um número na tabela, pegamos o número imediatamente à esquerda, em seguida, procuramos o número necessário na linha anterior, na posição dada pelo número acabamos de tomar.
Valores de
= hiper(2, m + 2, n) = 2 → n → m m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | formula |
0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | |
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | |
2 | 2 | 4 | 16 | 65536 | ![{\displaystyle 2^{65536}\approx 2.0\times 10^{19,729}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6052af8e4f3fea4a96a7c310c3a2245d13134857) | ![{\displaystyle 2^{2^{65536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19,728}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b47983e0f4cf74c4b953055ef15d937c34df3a3) | ![{\displaystyle 2^{2^{2^{65536}}}\approx 10^{10^{6.0\times 10^{19,728}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f355290c51292ca152153428a9b5a88fb9b4c437) | |
3 | 2 | 4 | 65536 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ cópias de }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65531}(6.0\times 10^{19,728})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fc900b8ff8fa325e992481e2669a45d4e7b972) | | | | |
4 | 2 | 4 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ cópias de }}2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284861cebb980145a30e9cd499cf2c90afd59641) | | | | | |
Nota:
denota uma função de potência da função
(A função também é expressa pelo sufixo-plex como em googolplex).
A tabela é a mesma que a da função de Ackermann, com exceção de uma mudança em
e
, e um acréscimo de 3 a todos os valores.
Computando
Nós colocamos os números 3
na linha superior, e preenchemos a coluna da esquerda com valores 3. Para determinar um número na tabela, pegue o número imediatamente à esquerda, em seguida, procura-se o número necessário na linha anterior, na posição dada pelo número acabado de tomar.
Valores de
= hiper(3, m + 2, n) = 3 → n → m m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | fórmula |
0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | |
1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | |
2 | 3 | 27 | 7.625.597.484.987 | ![{\displaystyle 3^{7.625.597.484.987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e9149e84b610e4bace66d6ffcb9311481d725f) | | |
3 | 3 | 7.625.597.484.987 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7.625.597.484.987{\mbox{ cópias de }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8e199fb70e19da8b5806dd436d0a2e4f38ebfb) | | | |
4 | 3 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7.625.597.484.987{\mbox{ cópias de }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8e199fb70e19da8b5806dd436d0a2e4f38ebfb) | | | | |
Computando
Colocamos os números 10
na linha superior, e preenchemos a coluna da esquerda com valores 10. Para determinar um número na tabela, se pega o número imediatamente à esquerda, em seguida, procura-se o número necessário na linha anterior, na posição dada pelo número que se acabou de tomar.
Valores de
= hiper(10, m + 2, n) = 10 → n → m m\n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | fórmula |
0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |
1 | 10 | 100 | 1.000 | 10.000 | 100.000 | |
2 | 10 | 10.000.000.000 | ![{\displaystyle 10^{10.000.000.000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705499941bcc45a536a5b7b5133bfbe6991a4ec1) | ![{\displaystyle 10^{10^{10.000.000.000}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312f20336bed24a9abd20949945d209bf168dfff) | ![{\displaystyle 10^{10^{10^{10.000.000.000}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02310b9c8c51bca4c742a388272468e294effb84) | |
3 | 10 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ cópias de }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbd0a224745f4a6a94c9ec42a10b96d8c1fdd21) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10}{\mbox{ cópias de }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6c8e0b28d23723f062dc60030156d69edfa891) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10^{10}}{\mbox{ cópias de }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97a4e5e7b4c9b3a0cd9b0859e65e0aac916d28b) | | |
4 | 10 | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ cópias de }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36eebb81b26b0c0ca560cb8ccf7075092bb04701) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10^{10}{\mbox{ cópias de }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79594777b11ca0c102e932a36c6f53b79fcfbd2) | | | |
Observe que, para 2 ≤ n ≤ 9 a ordem numérica dos números
é a ordem lexicográfica com m como o número mais significativo, assim, para os números dessas 8 colunas a ordem numérica é simplesmente linha por linha. O mesmo se aplica para os números das 97 colunas com 3 ≤ n ≤ 99, e se começarmos a partir de m = 1, mesmo para 3 ≤ n ≤ 9.999.999.999.
Sistemas de Numeração com base na sequência de hiperoperações
Goodstein [1947], com um sistema de notação diferente da notação de setas de Knuth, usou a sequência de hiperoperadores aqui denotada por
para criar sistemas de numeração para os inteiros não negativos. Deixando sobrescritos
denotando os respectivos hiperoperadores
, a assim chamada representação hereditária completa do inteiro n, ao nível k e base b, pode ser expresso da seguinte forma usando apenas os k primeiros hiperoperadores e utilizando-se como dígitos apenas 0, 1, ...,b-1:
- Para 0 ≤ n ≤ b-1, n é representado simplesmente por o dígito correspondente.
- Para n > b-1, a representação de n é encontrada de forma recursiva, em primeiro lugar representando n na forma
![{\displaystyle b^{(k)}{x_{k}}^{(k-1)}{x_{k-1}}^{(k-2)}\dots {x_{2}}^{(1)}x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e519124dedd597508742ffba41c66631a9a69a6)
- onde xk, ..., x1 são os maiores números inteiros que satisfazem (no turno)
![{\displaystyle b^{(k)}x_{k}\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519d2ff2e2e26386344c4785c7c7a0ff3959e757)
![{\displaystyle b^{(k)}{x_{k}}^{(k-1)}x_{k-1}\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56860a7eb771bf48a3002d7523ed12959cfe10dc)
- ...
.
- Qualquer xi excedendo b-1 é então re-expressado da mesma forma, e assim por diante, repetindo este procedimento até que a forma resultante contenha apenas os dígitos 0, 1, ..., b-1.
O restante desta seção usará
, ao invés de sobrescritos, para denotar o hiperoperadores.
Parênteses desnecessários podem ser evitados, dando maior precedência para operadores de maior nível na ordem de avaliação; assim,
representações de nível-1 têm a forma
, com X também desta forma;
representações de nível-2 têm a forma
, com X,Y também desta forma;
representações de nível-3 têm a forma
, com X,Y,Z também desta forma;
representações de nível-4 têm a forma
, com X,Y,Z,T também desta forma;
e assim por diante.
As representações podem ser abreviadas, omitindo-se todas as instâncias de
etc.; por exemplo, a representação de nível-3 base-2 do número 6 é
, que abrevia a
.
Exemplos: As únicas representações base-2 do número 266, nos níveis 1, 2, 3, 4, e 5 são as seguintes:
![{\displaystyle {\text{Nível 1:}}\ \ 266=2+2+\dots +2\ \ {\text{(com 133 2s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3afffda262c519031c14c954d836f95532bbcb1)
![{\displaystyle {\text{Nível 2:}}\ \ 266=2\times (2\times (2\times (2\times 2\times 2\times 2\times 2+1))+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e21c3def7e095807c765517a3eeba7c6779102c)
![{\displaystyle {\text{Nível 3:}}\ \ 266=2\uparrow 2\uparrow (2+1)+2\uparrow (2+1)+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6501dabc1bbbcc8c8c6782809339ca3273698d68)
![{\displaystyle {\text{Nível 4:}}\ \ 266=2\uparrow \uparrow (2+1)\uparrow 2+2\uparrow \uparrow 2\times 2+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262b47f9c37c15309d30e452de1d17a9f6912db3)
.
Ver também
Ligações externas
- Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235–1242.
- Robert Munafo, Large Numbers
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