Ortogonalidade hiperbólica

Em geometria, a relação de ortogonalidade hiperbólica entre duas retas separadas pelas assíntotas de uma hipérbole é um conceito usado na relatividade especial para definir eventos simultâneos. Dois eventos serão simultâneos quando estiverem em uma linha hiperbolicamente ortogonal a uma linha de tempo específica. Essa dependência de uma certa linha do tempo é determinada pela velocidade e é a base para a relatividade da simultaneidade.

Duas linhas são ortogonais hiperbólicas quando são reflexões uma da outra sobre a assíntota de uma dada hipérbole. Duas hipérboles particulares são frequentemente usadas no plano:

A relação de ortogonalidade hiperbólica realmente se aplica a classes de retas paralelas no plano, onde qualquer reta particular pode representar a classe. Assim, para uma dada hipérbole e assíntota A, um par de retas (a, b) é ortogonal hiperbólico se existe um par (c, d) tal que ${\displaystyle a\rVert c,\ b\rVert d}$, e c é a reflexão de d em A.

Semelhante à perpendularidade de um raio de círculo para a tangente, um raio para uma hipérbole é ortogonal hiperbólico para uma tangente para a hipérbole.^[1][2]

Uma forma bilinear é usada para descrever a ortogonalidade na geometria analítica, com dois elementos ortogonais quando sua forma bilinear desaparece. No plano dos números complexos ${\displaystyle z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy}$, a forma bilinear é ${\displaystyle xu+yv}$, enquanto no plano dos números hiperbólicos ${\displaystyle w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,}$ a forma bilinear é ${\displaystyle xu-yv.}$

Os vetores z₁ e z₂ no plano dos números complexos e w₁ e w₂ no plano dos números hiperbólicos são ditos respectivamente ortogonais euclidianos ou ortogonais hiperbólicos se seus respectivos produtos internos [formas bilineares] forem zero.^[3]

A forma bilinear pode ser calculada como a parte real do produto complexo de um número pelo conjugado do outro. Então

${\displaystyle z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0}$ acarreta perpendicularidade no plano complexo , enquanto

${\displaystyle w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0}$ implica que os ws são ortogonais hiperbólicos .

A noção de ortogonalidade hiperbólica surgiu na geometria analítica, em consideração de diâmetros conjugados de elipses e hipérboles.^[4] Se g e g′ representam as inclinações dos diâmetros conjugados, então ${\displaystyle gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ no caso de uma elipse e ${\displaystyle gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ no caso de uma hipérbole. Quando a = b, a elipse é um círculo e os diâmetros conjugados [en] são perpendiculares enquanto a hipérbole é retangular e os diâmetros conjugados são hiperbólicos ortogonais.

Na terminologia da geometria projetiva, a operação de tomar a linha ortogonal hiperbólica é uma involução. Suponha que a inclinação de uma linha vertical seja denotada por ∞ de modo que todas as linhas tenham uma inclinação na linha real estendida projetivamente. Então, qualquer que seja a hipérbole (A) ou (B) usada, a operação é um exemplo de involução hiperbólica em que a assíntota é invariante. Linhas hiperbolicamente ortogonais estão em diferentes setores do plano, determinadas pelas assíntotas da hipérbole, portanto a relação de ortogonalidade hiperbólica é uma relação heterogênea [en] em conjuntos de linhas no plano.

Desde os fundamentos de Hermann Minkowski para o estudo do espaço-tempo (em 1908), o conceito de pontos em um plano do espaço-tempo sendo hiperbólicos ortogonais a uma linha do tempo (tangente a uma linha de mundo) tem sido usado para definir simultaneidade de eventos em relação à linha do tempo, ou relatividade da simultaneidade. No desenvolvimento de Minkowski, a hipérbole do tipo (B) acima está em uso.^[5] Dois vetores (x₁, y₁, z₁, t₁) e (x₂, y₂, z₂, t₂ são normais (significando ortogonais hiperbólicos) quando

${\displaystyle c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.}$

Quando c = 1 e os ys e zs são zero, x₁ ≠ 0, t₂ ≠ 0, então ${\displaystyle {\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}}$.

Dada uma hipérbole com assíntota A, sua reflexão em A produz a hipérbole conjugada. Qualquer diâmetro da hipérbole original é refletido em um diâmetro conjugado [en]. As direções indicadas pelos diâmetros conjugados são tomadas para os eixos do espaço e do tempo na relatividade. Como E. T. Whittaker escreveu, em 1910, "[a] hipérbole é inalterada quando qualquer par de diâmetros conjugados são tomados como novos eixos, e uma nova unidade de comprimento é tomada proporcional ao comprimento de qualquer um desses diâmetros."^[6] Com base neste princípio da relatividade, ele então escreveu a transformação de Lorentz na forma moderna usando rapidez.

Edwin Bidwell Wilson e Gilbert N. Lewis desenvolveram o conceito dentro da geometria sintética, em 1912. Eles observaram que "em nosso plano, nenhum par de linhas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonais] é mais adequado para servir como eixos coordenados do que qualquer outro par"^[1]

• G. D. Birkhoff (1923) Relativity and modern physics (em inglês), páginas 62,3, Harvard university press.
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski space (em inglês), Birkhäuser Verlag, Basel. Ver página 38, Pseudo-orthogonality.
• Robert Goldblatt [en] (1987) Orthogonality and spacetime geometry, capítulo 1: A trip on Einstein's train, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X MR0888161
• J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973). Gravitation (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0