Polilogaritmo incompleto

Em matemática, a função polilogaritmo incompleto é relacionada à função polilogaritmo. É algumas vezes conhecida como a integral incompleta de Fermi–Dirac ou a integral incompleta de Bose-Einstein. Pode ser definida por:

Li s ⁡ ( b , z ) = 1 Γ ( s ) ∫ b ∞ x s − 1 e x / z − 1   d x . {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(b,z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}/z-1}}~dx.}

Expandindo sobre z=0 e integrando tem-se a a série de representação:

Li s ⁡ ( b , z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k s   Γ ( s , k b ) Γ ( s ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(b,z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}~{\frac {\Gamma (s,kb)}{\Gamma (s)}}}

onde Γ(s) é a função gama e Γ(s,x) é a função gama incompleta superior.

Referências

  • GNU Scientific Library - Reference Manual