Quártica de Klein
Na geometria hiperbólica, a quártica de Klein (nomeado por Felix Klein) é uma superfície de Riemann compacta do gênero 3 com o grupo de automorfismo de ordem mais alta possível para esse gênero, com ordem de 168 automorfismos de preservação de orientação e 336 automorfismos se a orientação puder ser revertida. Como tal, o quártico Klein é a superfície de Hurwitz do gênero mais baixo possível; veja o teorema dos automorfismos de Hurwitz. Seu grupo de automorfismo (preservação da orientação) é isomórfico ao PSL(2,7), o segundo menos grupo simples não-abeliano. O quártico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878.
O quártico de Klein ocorre em muitos ramos da matemática, em contextos que incluem a teoria das representações, a teoria da homologia, a multiplicação de octões, o último teorema de Fermat e o teorema de Stark-Heegner em campos numéricos quadráticos imaginários da classe número um; consulte (Levy 1999) para uma pesquisa de propriedades.
Originalmente, o "Klein quártico" a que se refere especificamente ao subconjunto do complexo plano projectiva P2(C) definida por uma equação algébrica . Isso possui uma métrica riemanniana específica (que a torna uma superfície mínima em P2(C) ), sob a qual sua curvatura gaussiana não é constante. Mas, mais comumente (como neste artigo), agora é entendida como qualquer superfície de Riemann que seja conformemente equivalente a essa curva algébrica, e especialmente a que é um quociente do plano hiperbólico H2 de determinados cocompactos grupos G, que age livremente no H2 isometricamente. Isto dá o Klein quártico uma métrica Riemannianos de curvatura constante −1 que herda a partir de H2 Esse conjunto de superfícies Riemannianas conformemente equivalentes é exatamente o mesmo que todas as superfícies Riemannianas compactas do gênero 3, cujo grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo simples e único da ordem 168. Esse grupo também é conhecido como PSL(2, 7) e também como grupo isomórfico PSL(3, 2) . Pela teoria do recobrimento, o grupo G mencionado acima é isomórfico ao grupo fundamental da superfície compacta do gênero 3.
Formas fechadas e abertas
É importante distinguir duas formas diferentes do quártico. O quártico fechado é o que geralmente se menciona em geometria; topologicamente, existe o gênero 3 e é um espaço compacto. O quártico aberto ou "perfurado" é de interesse na teoria dos números; topologicamente, é uma superfície do gênero 3 com 24 perfurações, e geometricamente essas perfurações são cúspides . O quártico aberto pode ser obtido (topologicamente) do quártico fechado, perfurando nos 24 centros do "telhado" por heptágonos regulares, como discutido abaixo. Os quânticos abertos e fechados têm métricas diferentes, embora sejam hiperbólicos e completos[1] - geometricamente, as cúspides são "pontos no infinito", não buracos, portanto o quático aberto ainda está completo.
Como uma curva algébrica
O quártico Klein pode ser visto como uma curva algébrica projetada sobre os números complexos C, definidos pela seguinte equação quártica em coordenadas homogêneas [x:y:z] em P2(C) :
O locus de esta equação em P2(C) é a superfície de Riemannian original que Klein descreveu.
Construção de álgebra de quaternião
O quártico compacto de Klein pode ser construído como quociente do plano hiperbólico pela escolha de um grupo fuchsiano adequado Γ(I) que é o principal subgrupo de congruência associado ao ideal. no anel dos números inteiros algébricos Z(η) do campo Q(η) onde η = 2 cos(2π/7) . Observe a identidade
exibindo 2 – η como fator primo de 7 no anel de números inteiros algébricos.
O grupo Γ(I) é um subgrupo do grupo do triângulo hiperbólico (2,3,7) . Nomeadamente, Γ(I) é um subgrupo do grupo de elementos da norma de unidade na álgebra quaternária gerada como uma álgebra associativa pelos geradores i,j e relações
Escolhe-se uma ordem de quaternião Hurwitz adequada na álgebra de quaternião, Γ(I) é então o grupo dos elementos da norma 1 em . O valor mínimo absoluto de um traço de um elemento hiperbólico em Γ(I) é , correspondendo ao valor de 3.936 para a sístole do quártico Klein, um dos mais altos deste gênero.
Revestimento
O quártico Klein admite revestimento ligados ao grupo de simetria (um " mapa regular "[2] ), e estas são usadas na compreensão do grupo de simetria, que refere-se ao artigo original de Klein. Dado um domínio fundamental para a ação do grupo (para o grupo completo de simetria de inversão de orientação, um triângulo (2,3,7)), os domínios de reflexão (imagens desse domínio no grupo) fornecem um mosaico do quártico, de modo que o grupo automorfismo do ladrilho é igual ao grupo automorfismo da superfície - os reflexos nas linhas do ladrilho correspondem aos reflexos do grupo (os reflexos nas linhas de um dado triângulo fundamental fornecem um conjunto de três reflexões geradoras). Esse mosaico é um quociente do mosaico heptagonal dividido em ordem 3 do plano hiperbólico (a cobertura universal do quártico), e todas as superfícies de Hurwitz são lado a lado da mesma maneira que os quocientes.
Esse mosaico é uniforme, mas não regular (é por triângulos escalenos ) e, em geral, são usados inclinações regulares. Um quociente de qualquer lado a lado na família (2,3,7) pode ser usado (e terá o mesmo grupo de automorfismo); destes, as duas inclinações regulares são o lado a lado de 24 heptágonos hiperbólicos regulares, cada um do grau 3 (encontrando-se em 56 vértices), e o lado a lado duplo por 56 triângulos equiláteros, cada um do grau 7 (encontrando-se nos 24 vértices). A ordem do grupo automorfismo está relacionada, sendo o número de polígonos vezes o número de arestas no polígono nos dois casos.
- 24 × 7 = 168
- 56 × 3 = 168
As inclinações de cobertura no plano hiperbólico são as peças heptagonais da ordem 3 e as peças triangulares da ordem 7 .
O grupo automorfismo pode ser aumentado (por uma simetria que não é realizada por uma simetria da cobertura) para produzir o grupo Mathieu M 24 .[3]
Correspondente a cada superfície da quártica (partição da variedade do quártico em subconjuntos) é um poliedro abstrato, que é abstraído da geometria e reflete apenas a combinatória do lado a lado (essa é uma maneira geral de obter um polítopo abstrato de um lado a lado) - os vértices, arestas e faces do poliedro são iguais em conjuntos aos vértices, arestas e faces do lado a lado, com as mesmas relações de incidência, e o grupo automorfismo (combinatório) do poliedro abstrato é igual ao grupo automorfismo (geométrico) do quártico. Dessa forma, a geometria se reduz a combinatória.
Quártico afim
O que foi apresentado acima é um mosaico do quártico projetivo (um dos diversos fechado); o quártico afim possui 24 cúspides (topologicamente, punções), que correspondem aos 24 vértices do mosaico triangular regular ou equivalentemente aos centros dos 24 heptágonos no mosaico heptagonal, e podem ser realizados da seguinte forma.
Considerando-se a ação de SL(2, R) no superior semi-plano modelo H2 do plano hiperbólico por transformações Möbius, o quártico Klein afim pode ser realizado como o quociente Γ(7)\H2 (Aqui Γ(7) é o subgrupo de congruência do SL(2, Z) consiste em matrizes que são congruentes com a matriz de identidade quando todas as entradas são tomadas no módulo 7. )
Domínio fundamental e decomposição das calças
O quártico de Klein pode ser obtido como quociente do plano hiperbólico pela ação de um grupo fuchsiano. O domínio fundamental é um tetradecágono(14) regular, que tem área pelo teorema de Gauss-Bonnet . Isso pode ser visto na figura ao lado, que também inclui os triângulos 336 (2,3,7) que pavimentam a superfície e geram seu grupo de simetrias.
Dentro do mosaico por (2,3,7) triângulos existe um mosaico por 24 heptágonos regulares. A sístole da superfície passa pelos pontos médios dos 8 lados do heptágono; por esse motivo, foi referido como "geodésico em oito etapas" na literatura e é o motivo do título do livro na seção abaixo. Todas as curvas coloridas na figura que mostram a decomposição das calças são sístoles, no entanto, este é apenas um subconjunto; existem 21 no total. O comprimento da sístole é dado por:
Uma fórmula fechada equivalente é
Enquanto o quártico Klein maximiza o grupo de simetria para superfícies do gênero 3, ele não maximiza o comprimento da sístole. O maximizador conjecturado é a superfície denominada "M3" (Schmutz 1993). M3 vem de um mosaico de (2,3,12) triângulos e sua sístole tem multiplicidade 24 e comprimento
O quártico de Klein pode ser decomposto em quatro pares de calças cortando ao longo de seis de suas sístoles. Essa decomposição fornece um conjunto simétrico de coordenadas de Fenchel-Nielsen, onde os parâmetros de comprimento são todos iguais ao comprimento da sístole e os parâmetros de torção são iguais a do comprimento da sístole. Em particular, tomar para ter o comprimento da sístole, as coordenadas são
O gráfico cúbico correspondente à decomposição dessa calça é o gráfico tetraédrico, ou seja, o gráfico de 4 nós, cada um conectado ao outros 3. O gráfico tetraédrico é semelhante ao gráfico para o plano Fano projetivo; de fato, o grupo automorfismo do quártico de Klein é isomórfico ao do plano de Fano.
Teoria espectral
Pouco foi provado sobre a teoria espectral da quártica de Klein, no entanto, foi conjeturado que ele maximiza o primeiro valor próprio positivo do operador Laplace entre todas as superfícies compactas de Riemann do gênero 3 com curvatura negativa constante. Essa conjectura deriva do fato de o quártico de Klein ter o maior grupo de superfícies de simetria de sua classe topológica, bem como a superfície de Bolza no gênero 2. Os autovalores do quartico de Klein foram calculados com diferentes graus de precisão. Os 15 primeiros autovalores positivos distintos são mostrados na tabela a seguir, juntamente com suas multiplicidades.
Valor próprio | Valor numérico | Multiplicidade |
---|---|---|
0 0 | 1 | |
2.67793 | 8 | |
6.62251 | 7 | |
10.8691 | 6 | |
12.1844 | 8 | |
17,2486 | 7 | |
21.9705 | 7 | |
24.0811 | 8 | |
25.9276 | 6 | |
30,8039 | 6 | |
36,4555 | 8 | |
37.4246 | 8 | |
41.5131 | 6 | |
44,8884 | 8 | |
49.0429 | 6 | |
50.6283 | 6 |
Modelos tridimensionais
A quártica de Klein não pode ser realizado como uma figura tridimensional, no sentido de que nenhuma figura tridimensional possui simetrias (rotacionais) iguais a PSL(2,7), uma vez que PSL(2,7) não é incorporado como um subgrupo de SO(3) (ou O(3) ) - não possui uma representação linear tridimensional (não trivial) sobre os números reais.
No entanto, muitos modelos tridimensionais do quártico de Klein foram apresentados, começando no artigo original de Klein,[2][4][5][6][7] que procuram demonstrar características do quártico e preservar topicamente as simetrias, embora nem todos geometricamente. Os modelos resultantes geralmente têm simetrias tetraédrica (ordem 12) ou octaédrica (ordem 24); a simetria da ordem restante 7 não pode ser tão facilmente visualizada, e de fato é o título do artigo de Klein.
Na maioria das vezes, o quártico é modelado por uma superfície lisa do gênero 3 com simetria tetraédrica (a substituição das bordas de um tetraedro regular por tubos/ alças produz essa forma), que foram apelidadas de "tetruses"[7] ou por aproximações poliédricas., que foram apelidados de "tetróides"; em ambos os casos, é uma incorporação da forma em 3 dimensões. O modelo suave mais notável (tetrus) é a escultura The Eightfold Way, de Helaman Ferguson, no Instituto de Pesquisa em Ciências Matemáticas de Berkeley, Califórnia, feita de mármore e serpentina, que foi inaugurada em 14 de novembro de 1993. O título refere-se ao fato de que, iniciando em qualquer vértice da superfície triangulada e movendo-se ao longo de qualquer aresta, se você alternadamente virar à esquerda e à direita ao atingir um vértice, sempre retornará ao ponto original após oito arestas. A aquisição da escultura levou, oportunamente, à publicação de um livro de artigos (Levy 1999) , detalhando as propriedades do quártico e contendo a primeira tradução para o inglês do artigo de Klein. Modelos poliédricos com simetria tetraédrica geralmente têm casco convexo, um tetraedro truncado - veja (Schulte & Wills 1985) e (Scholl, Schürmann & Wills 2002) para exemplos e ilustrações. Alguns desses modelos consistem em 20 triângulos ou 56 triângulos (abstratamente, o poliedro de inclinação regular {3,7 |, 4}, com 56 faces, 84 arestas e 24 vértices), que não pode ser percebido como equilateral, com torções no braços do tetraedro; enquanto outros têm 24 heptágonos - esses heptágonos podem ser considerados planares, embora não convexos,[8] e os modelos são mais complexos que os triangulares porque a complexidade é refletida nas formas das faces heptagonais (não flexíveis), em vez de nos vértices (flexíveis).[2]
Como alternativa, a quártica pode ser modelado por um poliedro com simetria octaédrica: Klein modelou o quártico por uma forma com simetrias octaédricas e com pontos no infinito (um "poliedro aberto"),[5] ou seja, três hiperbolóides reunidos em eixos ortogonais,[2] embora também possa ser modelado como um poliedro fechado que deve ser imerso (com interseções automáticas), não incorporado. Esses poliedros podem ter vários cascos convexos, incluindo o cubo truncado,[9] o cubo desprezível,[8] ou o rhombicuboctahedron, como no pequeno cubicuboctahedron à direita.[3] A pequena imersão em cubicuboctaedro é obtida juntando-se alguns dos triângulos (2 triângulos formam um quadrado, 6 formam um octógono), que podem ser visualizados colorindo os triângulos (o telhado correspondente é topológico, mas não geometricamente o telhado 3 4 | 4). Esta ideia também pode ser usada para construir geometricamente o grupo Mathieu M 24, adicionando ao PSL (2,7) a permutação que intercambia pontos opostos das linhas bifurcadas dos quadrados e octógonos.
Dessin d'enfants (desenho de criança)
O desenho de criança no quártico de Klein associada ao mapa de quociente por seu grupo de automorfismo (como quociente a esfera de Riemann) é precisamente o esqueleto 1 do mosaico heptagonal da ordem 3.[10] Ou seja, o mapa de quociente é ramificado sobre os pontos 0, 1728 e ∞ ; dividir por 1728 produz uma função Belyi (ramificada em 0, 1 e ∞ ), onde os 56 vértices (pontos pretos desenhados) se situam acima de 0, os pontos médios das 84 bordas (pontos brancos desenhados) ficam sobre 1, e o os centros dos 24 heptágonos estão sobre o infinito. O desenho resultante é um desenho "platônico", que significa transitivo e "limpo" (cada ponto branco possui valência 2).
Superfícies relacionadas
O quártico Klein está relacionado a várias outras superfícies.
Geometricamente, é a menor superfície de Hurwitz (gênero mais baixo); o próximo é a superfície de Macbeath (gênero 7), e o seguinte é o trigêmeo First Hurwitz (3 superfícies do gênero 14). Mais geralmente, é a superfície mais simétrica de um determinado gênero (sendo uma superfície de Hurwitz); nesta classe, a superfície de Bolza é a superfície mais simétrica do gênero 2, enquanto a superfície de Bring é uma superfície altamente simétrica do gênero 4 - consulte as isometrias das superfícies de Riemann para uma discussão mais aprofundada.
Algebricamente, o quártico Klein (afim) é a curva modular X(7) e o quártico projetivo de Klein é sua compactação, assim como o dodecaedro (com uma cúspide no centro de cada face) é a curva modular X(5); isso explica a relevância para a teoria dos números.
Mais sutilmente, o quártico Klein (projetivo) é uma curva de Shimura (como são as superfícies de Hurwitz dos gêneros 7 e 14) e, como tais, paramétricas principalmente variedades abelianas polarizadas da dimensão 6.[11]
Também existem outras superfícies quárticas de interesse, como as superfícies quartas especiais .
Mais excepcionalmente, o quártico Klein faz parte de uma " trindade " no sentido de Vladimir Arnold, que também pode ser descrito como uma correspondência de McKay. Nesta coleção, os grupos lineares especiais projetivos PSL (2,5), PSL (2,7) e PSL (2,11) (pedidos 60, 168, 660) são análogos, correspondendo à simetria icosaédrica (gênero 0), as simetrias da quártica de Klein (gênero 3) e da superfície da buckyball (gênero 70).[12] Estes estão ainda ligados a muitos outros fenômenos excepcionais, elaborados em " trindades ".
Ver também
Referências
- ↑ (Levy 1999, p. 24)
- ↑ a b c d (Scholl, Schürmann & Wills 2002)
- ↑ a b (Richter)
- ↑ Klein's Quartic Curve, John Baez, July 28, 2006
- ↑ a b Platonic tilings of Riemann surfaces, Gerard Westendorp
- ↑ Paper models of the Klein quartic Arquivado em 2011-06-07 no Wayback Machine, Mike Stay Arquivado em 2010-09-07 no Wayback Machine
- ↑ a b Patterns on the Genus-3 Klein Quartic, by Carlo H. Séquin, accompanying Pieces at the Bridges Art-Exhibit, London, August 4–8, 2006, with "Klein Quartic Quilt", by Eveline Séquin, based on a pattern by Bill Thurston
- ↑ a b (Schulte & Wills 1985)
- ↑ Klein's Quartic Curve, by Greg Egan
- ↑ le Bruyn, Lieven (7 de março de 2007), The best rejected proposal ever, cópia arquivada em 27 de fevereiro de 2014
- ↑ Elkies, section 4.4 (pp. 94–97) in (Levy 1999).
- ↑ Martin, David; Singerman, Pablo (17 de abril de 2008), From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball (PDF)
Bibliografia
- Klein, F. (1878). «Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen» [On the order-seven transformation of elliptic functions]. Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143 Translated in Levy, Silvio, ed. (1999). The Eightfold Way. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. MR 1722410
- Elkies, N. (1998), «Shimura curve computations», Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998), ISBN 978-3-540-64657-0, Lecture Notes in Computer Science, 1423, Berlin: Springer, pp. 1–47, MR 1726059, arXiv:math.NT/0005160, doi:10.1007/BFb0054850
- Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way, ISBN 978-0-521-66066-2, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 35, Cambridge University Press, MR 1722410 . Paperback edition, Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Read This: The Eightfold Way, reviewed by Ruth I. Michler.
- Schulte, Egon; Wills, J. M. (1 de dezembro de 1985), «A Polyhedral Realization of Felix Klein's Map {3, 7}8 on a Riemann Surface of Genus 3», J. London Math. Soc., s2-32 (3): 539–547, doi:10.1112/jlms/s2-32.3.539, consultado em 17 de abril de 2010
- Karcher, H.; Weber, M. (1996), On Klein's Riemann Surface, CiteSeerX 10.1.1.47.1879, consultado em 17 de abril de 2010 [ligação inativa]
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M24, consultado em 15 de abril de 2010
- Schmutz, P. (1993). «Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length». GAFA. 3 (6): 564–631. doi:10.1007/BF01896258
- Scholl, P.; Schürmann, A.; Wills, J. M. (setembro de 2002), «Polyhedral Models of Felix Klein's Group», The Mathematical Intelligencer, 24 (3): 37–42, doi:10.1007/BF03024730, Arquivado do original em 11 de junho de 2007 !CS1 manut: BOT: estado original-url desconhecido (link)
- Singerman, David; Syddall, Robert I. (2003), «The Riemann Surface of a Uniform Dessin», Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 44 (2): 413–430
Ligações externas
- Curva quártica de Klein, John Baez, 28 de julho de 2006
- Curva quártica de Klein, por Greg Egan - ilustrações
- Equações da quártica de Klein, por Greg Egan - ilustrações