Recobrimento (topologia)

Em topologia, um espaço de recobrimento, ou simplesmente recobrimento, de um espaço topológico X conexo por arcos é uma aplicação contínua ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$, onde Y é um espaço conexo por arcos e p é tal que cada ponto de X tem uma vizinhança U cuja imagem recíproca é um conjunto com componentes conexas ${\displaystyle S_{i}}$ de modo que cada ${\displaystyle p|_{S_{i}}:S_{i}\rightarrow U}$ é um homeomorfismo.

O termo cobertura às vezes é empregado como sinônimo de recobrimento, mas este uso pode causar confusão com a noção de cobertura aberta.

O grau de uma cobertura ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$ é o cardinal de ${\displaystyle p^{-1}(x)}$, para qualquer ${\displaystyle x\in X}$.

O grupo de um recobrimento ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$ é constituído pelas aplicações contínuas ${\displaystyle \phi :Y\rightarrow Y}$ tais que ${\displaystyle p\circ \phi =p}$.

Um recobrimento ${\displaystyle p:Y\rightarrow X}$, onde Y é simplesmente conexo, é dito um recobrimento universal de X. O grupo fundamental de X é o grupo de um recobrimento universal de X.