Reticulado

 Nota: Se procura outros sentidos do termo, veja Retículo (grupo).

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, ${\displaystyle \lor ,\land }$), consistindo de um conjunto L e duas operações ${\displaystyle \lor }$, e ${\displaystyle \land }$, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.^[1]

Leis de Idempotência

${\displaystyle a\lor a=a}$,

${\displaystyle a\land a=a}$.

Exemplos

• Seja ${\displaystyle A^{\,}}$ um conjunto não vazio e ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}$ o conjunto potência ou conjunto das partes de ${\displaystyle A^{\,}}$. Além disso, seja ${\displaystyle \subseteq ^{\,}}$ a relação de inclusão de conjuntos. Então ${\displaystyle \left\langle {\mathcal {P}}\left(A\right),\subseteq \right\rangle }$ é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.

• Seja ${\displaystyle \left\langle A,\leq \right\rangle }$ um conjunto totalmente ordenado, isto é, ${\displaystyle \leq ^{\,}}$ é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados

• Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
• Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

Bibliografia

• BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society 

• DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2 

• Portal da matemática
• Portal da lógica

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