Sístoles de superfície

Na matemática, as desigualdades sistólicas para curvas em superfícies foram estudadas por Charles Loewner em 1949 (não publicado; ver observação no final do artigo de P.M. Pu em 52). Dada uma superfície fechada, sua sístole, denominada sys(do inglês, systeles), é definida com o menor comprimento de um loop que não pode ser contraído a ponto na superfície. A área sistólica de uma métrica é definida como a razão area/sys². A razão sistólica RS é a quantidade recíproca sys²/área. Veja também Introdução à geometria sistólica .

Em 1949, Loewner provou sua desigualdade para métricas no toro T², a saber, que a razão sistólica RS (T²) é delimitada acima por ${\displaystyle 2/{\sqrt {3}}}$, com igualdade no plano(curvatura constante) caso do toro equilateral (ver estrutura hexagonal).

Um resultado semelhante é dado pela desigualdade de Pu para o plano projetivo real de 1952, devido a Pao Ming Pu, com um limite superior de π / 2 para a razão sistólica RS(RP²), também atingida no caso de curvatura constante.

Para o frasco de Klein K, Bavard (1986) obteve um limite superior ótimo de ${\displaystyle \pi /{\sqrt {8}}}$ para a razão sistólica:

${\displaystyle \mathrm {SR} (K)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},}$

baseado no trabalho de Blatter da década de 1960.

Uma superfície orientável do gênero 2 satisfaz os limites de Loewner ${\displaystyle \mathrm {SR} (2)\leq {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$, veja (Katz-Sabourau '06). Não se sabe se todas as superfícies do gênero positivo satisfazem ou não a ligação de Loewner. É conjecturado que todos eles fazem. A resposta é afirmativa para o gênero 20 e acima por (Katz-Sabourau '05).

Para uma superfície fechada do gênero g, Hebda e Burago (1980) mostraram que a razão sistólica SR (g) é delimitada acima pela constante 2. Três anos depois, Mikhail Gromov encontrou um limite superior para SR (g) dado por tempos constantes

${\displaystyle {\frac {(\log g)^{2}}{g}}.}$

Um limite inferior semelhante (com uma constante menor) foi obtido por Buser e Sarnak. Nomeadamente, eles exibiram superfícies aritméticas hiperbólicas de Riemann com a sístole se comportando como um tempo constante ${\displaystyle \log(g)}$. Observe que a área é 4π (g-1) do teorema de Gauss-Bonnet, de modo que RS(g) se comporta assintoticamente como um tempo constante ${\displaystyle {\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}}$ .

O estudo do comportamento assintótico para grandes gêneros ${\displaystyle g}$ da sístole das superfícies hiperbólicas revela algumas constantes interessantes. Assim, Hurwitz afunda ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ definido por uma torre de subgrupos de congruência principal do grupo do triângulo hiperbólico (2,3,7) satisfaz a relação:

${\displaystyle \mathrm {sys} (\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}$

resultante de uma análise da ordem dos quaterniões de Hurwitz. Um limite semelhante vale para grupos fuchsianos aritméticos mais gerais. Este resultado de 2007 de Mikhail Katz, Mary Schaps e Uzi Vishne melhora uma desigualdade devido a Peter Sarnak e Peter Buser no caso de grupos aritméticos definidos sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, de 1994, que continha uma constante aditiva diferente de zero. Para as superfícies de Hurwitz do tipo principal de congruência, a razão sistólica RS(g) é assintótica para

${\displaystyle {\frac {4}{9\pi }}{\frac {(\log g)^{2}}{g}}.}$

Usando a desigualdade de entropia de Katok, o seguinte limite superior assintótico para SR (g) foi encontrado em (Katz-Sabourau 2005):

${\displaystyle {\frac {(\log g)^{2}}{\pi g}},}$

ver também (Katz 2007), p.85 Combinando as duas estimativas, obtém-se limites estreitos para o comportamento assintótico da razão sistólica de superfícies.

Existe também uma versão da desigualdade para métricas na esfera, para o invariante L definido como o menor comprimento de uma geodésica fechada da métrica. Em 80, Gromov conjeturou um limite inferior de ${\displaystyle 1/2{\sqrt {3}}}$ para a área da relação/L². Um limite inferior de 1/961 obtido por Croke em 88 foi recentemente aprimorado por Nabutovsky, Rotman e Sabourau.

• Geometria diferencial de superfícies

• Bavard (1986). «Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein». Math. Ann. 274: 439–441. doi:10.1007/BF01457227 
• Buser (1994). «On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane)». Inventiones Mathematicae. 117: 27–56. Bibcode:1994InMat.117...27B. doi:10.1007/BF01232233 
• Gromov (1983). «Filling Riemannian manifolds». J. Diff. Geom. 18: 1–147. MR 697984. doi:10.4310/jdg/1214509283 
• Hebda (1981–1988). «Some lower bounds for the area of surfaces». Invent. Math. 65: 485–490. Bibcode:1982InMat..65..485H. doi:10.1007/BF01396632 
• Katz, Mikhail G. (2007). Systolic geometry and topology. American Mathematical Society. Col: Mathematical Surveys and Monographs. 137. Providence, R.I.: [s.n.] ISBN 978-0-8218-4177-8  Katz, Mikhail G. (2007). Systolic geometry and topology. American Mathematical Society. Col: Mathematical Surveys and Monographs. 137. Providence, R.I.: [s.n.] ISBN 978-0-8218-4177-8  Katz, Mikhail G. (2007). Systolic geometry and topology. American Mathematical Society. Col: Mathematical Surveys and Monographs. 137. Providence, R.I.: [s.n.] ISBN 978-0-8218-4177-8 
• Katz (2005). «Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds». Ergo. Th. Dynam. Sys. 25: 1209–1220. arXiv:math/0410312. doi:10.1017/S0143385704001014 
• Katz (2006). «Hyperelliptic surfaces are Loewner». Proc. Amer. Math. Soc. 134: 1189–1195. arXiv:math.DG/0407009. doi:10.1090/S0002-9939-05-08057-3 
• Katz (2007). «Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups». J. Differential Geom. 76: 399–422. arXiv:math.DG/0505007. doi:10.4310/jdg/1180135693 
• Pu (1952). «Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds». Pacific J. Math. 2: 55–71. MR 0048886. doi:10.2140/pjm.1952.2.55