Segmento circular

Um segmento circular (mostrado aqui em amarelo) é delimitada por uma secante/corda (a linha tracejada) e um arco de círculo (mostrado acima da área amarela).

Em geometria, um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo informalmente definido como uma área que é "cortada" do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. O segmento circular constitui a parte entre a secante e um arco, excluindo o centro do círculo.

Fórmula

Seja R o raio do círculo, c o comprimento da corda, s o comprimento do arco, h a altura do segmento e d a altura da porção triangular. A área do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular.

O raio é  R = h + d {\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}

O comprimento do arco é  s = R θ {\displaystyle s=R\theta {\frac {}{}}} , onde θ {\displaystyle \theta {\frac {}{}}} está em radianos.

A área é  A = R 2 2 ( θ − sen ⁡ θ ) {\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}

O comprimento da corda é  c = R 2 − 2 cos ⁡ θ {\displaystyle c=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}

onde b é a distância do centro de gravidade ao centro do círculo e A é a área do segmento.


Derivação da fórmula da área

A área do setor circular é  π R 2 ⋅ θ 2 π = R 2 ( θ 2 ) {\displaystyle \pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}

Se fizermos a bissetriz do ângulo θ {\displaystyle \theta } , e por conseguinte da porção triangular, obteremos dois triângulos com a área 1 2 R sin ⁡ θ 2 R cos ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}} ou 2 ⋅ 1 2 R sin ⁡ θ 2 R cos ⁡ θ 2 {\displaystyle 2\cdot {\frac {1}{2}}R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}}

= R 2 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 {\displaystyle =R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}

Dado que a área do segmento é a área do setor diminuída da área da porção triangular, temos

R 2 ( θ 2 − sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}

De acordo com a trigonometria, 2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x {\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x} , logo

R sin ⁡ θ 2 R cos ⁡ θ 2 = R 2 2 sin ⁡ θ {\displaystyle R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\sin \theta }

Portanto, a área é:

R 2 ( θ 2 − 1 2 sin ⁡ θ ) {\displaystyle R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)}

= R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle ={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}

Ver também

Ligações externas

  • Áreas de regiões circulares em Matemática Essencial. Acessado em 22 de maio de 2008.
  • Cálculo de segmento circular em WebCalc. Acessado em 22 de maio de 2008.
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