Teorema de Arzelà-Ascoli

Em matemática, o teorema de Ascolí-Arzela é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Enunciado da versão real

Seja ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\,}$ uma sequência de funções ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbf {R} \,}$ com as seguintes propriedades:

• Equicontinuidade, ou seja, para cada ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ e cada ${\displaystyle x\,}$ no domínio, existe um ${\displaystyle \delta >0\,}$ tal que ${\displaystyle |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon ,\forall f\in {\mathfrak {F}}\,}$
• Equilimitação, ou seja, existe uma constante ${\displaystyle C\,}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|<C,\forall x\in [a,b],\forall f\in {\mathfrak {F}}\,}$

Então existe uma subseqüência ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ e uma função contínua ${\displaystyle f(x)\,}$ tal que ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge uniformemente para ${\displaystyle f(x)\,}$.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequência de funções contínuas ${\displaystyle (f_{n}(x))\,}$ definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequência que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.

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